Represente geometricamente os pontos do plano tais que suas coordenadas polares satisfazem: rho = theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente representar geometricamente os pontos do plano cujas coordenadas polares satisfazem a equação . Isso está relacionado ao estudo das coordenadas polares, que é uma maneira de localizar pontos no plano usando um ângulo e uma distância em relação à origem. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas polares e como podemos transformar essa equação em uma representação gráfica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é definido por dois valores: rho, que é a distância do ponto à origem (também chamada de raio), e theta, que é o ângulo que a linha que conecta a origem ao ponto faz com o eixo positivo dos x.

Passo 3

A equação dada é . Isso significa que para cada ponto que queremos representar, a distância rho do ponto até a origem é igual ao ângulo theta que esse ponto faz com o eixo positivo dos x. Ou seja, conforme o ângulo aumenta, a distância do ponto em relação à origem também aumenta proporcionalmente.

Passo 4

Para representar isso graficamente, podemos começar plotando alguns pontos. Vamos escolher valores para theta e calcular rho correspondente.
Por exemplo:
  • Se , então . O ponto está na origem.
  • Se radianos (~45°), então .
  • Se radianos (~90°), então .
  • Continuando esse processo para valores maiores de theta, percebemos que rho continua aumentando.

Passo 5

Ao conectar esses pontos, notamos que eles não formam uma linha reta ou um círculo. Em vez disso, eles criam uma curva que se afasta continuamente da origem à medida que o ângulo theta aumenta. Essa curva é conhecida como espiral de Arquimedes.

Passo 6

A espiral de Arquimedes é uma das formas mais simples de espirais em coordenadas polares e é definida pela equação , onde “a” é uma constante que determina a distância entre as voltas da espiral. No nosso caso, “a” é igual a 1, então a espiral se afasta da origem de forma proporcional ao aumento do ângulo theta.

Resposta

A representação geométrica dos pontos cujo coordenadas polares satisfazem é uma espiral de Arquimedes, onde cada ponto se afasta da origem à medida que o ângulo theta aumenta.

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