Represente geometricamente os pontos do plano tais que suas coordenadas polares satisfazem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente representar geometricamente os pontos do plano cujas coordenadas polares satisfazem a equação
. Isso está relacionado ao estudo das coordenadas polares, que é uma maneira de localizar pontos no plano usando um ângulo e uma distância em relação à origem. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas polares e como podemos transformar essa equação em uma representação gráfica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é definido por dois valores:
, que é a distância do ponto à origem (também chamada de raio), e
, que é o ângulo que a linha que conecta a origem ao ponto faz com o eixo positivo dos x.
Passo 3
A equação dada é
. Isso significa que para cada ponto que queremos representar, a distância
do ponto até a origem é igual ao ângulo
que esse ponto faz com o eixo positivo dos x. Ou seja, conforme o ângulo aumenta, a distância do ponto em relação à origem também aumenta proporcionalmente.
Passo 4
Para representar isso graficamente, podemos começar plotando alguns pontos. Vamos escolher valores para
e calcular
correspondente.
Por exemplo:
- Se
, então . O ponto está na origem. - Se
radianos (~45°), então . - Se
radianos (~90°), então . - Continuando esse processo para valores maiores de
, percebemos que continua aumentando.
Passo 5
Ao conectar esses pontos, notamos que eles não formam uma linha reta ou um círculo. Em vez disso, eles criam uma curva que se afasta continuamente da origem à medida que o ângulo
aumenta. Essa curva é conhecida como espiral de Arquimedes.
Passo 6
A espiral de Arquimedes é uma das formas mais simples de espirais em coordenadas polares e é definida pela equação
, onde “a” é uma constante que determina a distância entre as voltas da espiral. No nosso caso, “a” é igual a 1, então a espiral se afasta da origem de forma proporcional ao aumento do ângulo
.
Resposta
A representação geométrica dos pontos cujo coordenadas polares satisfazem
é uma espiral de Arquimedes, onde cada ponto se afasta da origem à medida que o ângulo
aumenta.