Resolva o sistema de equações diferenciais lineares de ordem homogêneo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais de primeira ordem que você mandou. O que temos aqui são duas equações que descrevem como as variáveis e mudam ao longo do tempo . Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma matricial. Isso deixa tudo mais organizado. O sistema dado é:
Podemos representar isso como , onde:

Passo 3

Para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores de . Isso é feito resolvendo o determinante , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Calculando :
O determinante é:
Expandindo isso:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:

Passo 4

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes.
Para :


[


]
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor para é:
Para :


[


]
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor para é:

Passo 5

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. Para cada autovalor e autovetor , a solução é da forma:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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