Resolva o sistema de equações diferenciais lineares de
ordem homogêneo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais de primeira ordem que você mandou. O que temos aqui são duas equações que descrevem como as variáveis
e
mudam ao longo do tempo
. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma matricial. Isso deixa tudo mais organizado. O sistema dado é:
Podemos representar isso como
, onde:
Passo 3
Para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores de
. Isso é feito resolvendo o determinante
, onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Calculando
:
O determinante é:
Expandindo isso:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes.
Para
:
[
]
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor para
é:
Para
:
[
]
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor para
é:
Passo 5
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. Para cada autovalor
e autovetor
, a solução é da forma:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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ou duas iterações:
Calcule a integral de linha
em que
é a curva dada pela função vetorial
.
é a curva interseção da esfera
com o plano
, percorrida no sentido anti-horário quando vista da origem
Resolva o sistema de equações diferenciais lineares de
ordem não-homogêneo
Resolva a equação diferencial linear de
ordem, não-homogênea