Resolver o seguinte sistema de equações não linear, usando o método Newton Modificado com erro ou duas iterações:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações não linear usando o Método de Newton Modificado. O enunciado nos dá duas equações:
Aqui, estamos lidando com um sistema de duas equações e duas incógnitas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o Método de Newton para sistemas não lineares, que utiliza derivadas (as derivadas parciais) para encontrar soluções aproximadas iterativamente.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nosso sistema como funções e :
O objetivo é encontrar os valores de e que satisfazem ambas as equações simultaneamente.

Passo 3

Para aplicar o Método de Newton, precisamos calcular a matriz Jacobiana do sistema, que é uma matriz de derivadas parciais:
Calculando cada derivada:
Então, a matriz Jacobiana fica:

Passo 4

O Método de Newton nos dá a seguinte fórmula para atualizar nossas aproximações de e :

[

  • J^{-1} \cdot

    ]
Mas, ao invés de calcular a inversa da matriz Jacobiana, podemos resolver o sistema linear para encontrar as atualizações e .

Passo 5

Vamos iniciar com uma suposição inicial. Vamos escolher e . Agora, calculamos e nessas coordenadas:
Calculando a matriz Jacobiana em :

[
J =


]
Agora, resolvemos o sistema:

[

\cdot


]
Resolvendo, encontramos e .
Então, atualizamos nossos valores:

Passo 6

Vamos verificar o erro atualizando novamente com .
Calculamos e :
Calculando a matriz Jacobiana em :

[
J =


]
Resolvendo o sistema :

[

\cdot


]
Após resolver, obtemos e que nos levam a uma nova aproximação. Repetimos o processo até que o erro seja menor ou igual a 0.001, ou até completarmos duas iterações.

Resposta

Após duas iterações do Método de Newton Modificado, as aproximações para as soluções do sistema são aproximadamente:

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha em que é a curva dada pela função vetorial .
é a curva interseção da esfera com o plano , percorrida no sentido anti-horário quando vista da origem
$(a) Mostre que um campo de força constante realiza trabalho nulo sobre uma partícula que dá uma única volta completa uniformemente na circunferência .
Resolva o sistema de equações diferenciais lineares de ordem homogêneo
Resolva o sistema de equações diferenciais lineares de ordem não-homogêneo