Resolver o seguinte sistema de equações não linear, usando o método Newton Modificado com erro
ou duas iterações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações não linear usando o Método de Newton Modificado. O enunciado nos dá duas equações:
Aqui, estamos lidando com um sistema de duas equações e duas incógnitas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o Método de Newton para sistemas não lineares, que utiliza derivadas (as derivadas parciais) para encontrar soluções aproximadas iterativamente.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nosso sistema como funções
e
:
O objetivo é encontrar os valores de
e
que satisfazem ambas as equações simultaneamente.
Passo 3
Para aplicar o Método de Newton, precisamos calcular a matriz Jacobiana do sistema, que é uma matriz de derivadas parciais:
Calculando cada derivada:
Então, a matriz Jacobiana fica:
Passo 4
O Método de Newton nos dá a seguinte fórmula para atualizar nossas aproximações de
e
:
[
- J^{-1} \cdot
]
Mas, ao invés de calcular a inversa da matriz Jacobiana, podemos resolver o sistema linear
para encontrar as atualizações
e
.
Passo 5
Vamos iniciar com uma suposição inicial. Vamos escolher
e
. Agora, calculamos
e
nessas coordenadas:
Calculando a matriz Jacobiana em
:
[
J =
]
Agora, resolvemos o sistema:
[
\cdot
]
Resolvendo, encontramos
e
.
Então, atualizamos nossos valores:
Passo 6
Vamos verificar o erro atualizando novamente com
.
Calculamos
e
:
Calculando a matriz Jacobiana em
:
[
J =
]
Resolvendo o sistema
:
[
\cdot
]
Após resolver, obtemos
e
que nos levam a uma nova aproximação. Repetimos o processo até que o erro seja menor ou igual a 0.001, ou até completarmos duas iterações.
Resposta
Após duas iterações do Método de Newton Modificado, as aproximações para as soluções do sistema são aproximadamente:
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.
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.
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