Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é e a curva é dada por para variando de 0 a 1. Vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e a fórmula da integral de linha para campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa integral de linha. Basicamente, estamos somando as influências do campo vetorial ao longo da curva . Para isso, precisamos parametrizar a curva, o que já está feito com .
Passo 3
Vamos identificar as componentes de :
Agora, encontramos as derivadas dessas funções em relação a :
Passo 4
A fórmula para a integral de linha é:
Aqui, e são as componentes do campo vetorial .
Passo 5
Vamos substituir e com as expressões dadas:
Agora, substituímos e :
Passo 6
Agora, substituímos tudo na integral:
Passo 7
Vamos resolver a integral separadamente:
Primeiro, para a primeira integral, fazemos a substituição , então :