Calcule a integral de linha integralC F cdot d r :
(b) F(x, y)=e^x-1 i+x y j com r(t)=t^2 i+t^3 j e t in[0,1] cdot 118-1e.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é e a curva é dada por para variando de 0 a 1. Vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e a fórmula da integral de linha para campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral de linha. Basicamente, estamos somando as influências do campo vetorial ao longo da curva . Para isso, precisamos parametrizar a curva, o que já está feito com .

Passo 3

Vamos identificar as componentes de x(t) = t^2 e y(t) = t^3 :
dxdt = 2t e dydt = 3t^2
Agora, encontramos as derivadas dessas funções em relação a :

Passo 4

A fórmula para a integral de linha é:
integralC F cdot dr = integrala^b [ Fx(x(t), y(t)) dxdt + Fy(x(t), y(t)) dydt ] dt
Aqui, e são as componentes do campo vetorial .

Passo 5

Vamos substituir Fx(x, y) = e^x-1 e Fy(x, y) = xy e Fx(t) = e^t^2-1 e Fy(t) = t^2 cdot t^3 = t^5 com as expressões dadas:
Agora, substituímos e :

Passo 6

Agora, substituímos tudo na integral:
integral0^1 [ e^t^2-1 cdot 2t + t^5 cdot 3t^2 ] dt = integral0^1 ( 2t e^t^2-1 + 3t^7 ) dt

Passo 7

Vamos resolver a integral separadamente:
integral0^1 2t e^t^2-1 dt + integral0^1 3t^7 dt
Primeiro, para a primeira integral, fazemos a substituição integral e^u du = e^u + C = e^t^2-1 + C , então integral0^1 2t e^t^2-1 dt = e^t^2-1 gr|0^1 = e^0 - e^-1 = 1 - 1e :
Então:

Passo 8

Agora, resolvemos a segunda integral:
integral0^1 3t^7 dt = 3 cdot t^88 gr|0^1 = 38(1^8 - 0) = 38

Resposta

Somando as duas partes:
1 - 1e + 38 = 118 - 1e
Portanto, a integral de linha é .

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