Use o Teorema de Green para calcular:
© integralC(y+e^raizx) d x+(2 x+cos (y^2)) d y onde C é a fronteira da região englobada pelas parábolas y=x^2 e y^2=x cdot 13.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. O objetivo é calcular a integral de linha dada:
integralC(y + e^raizx) dx + (2x + cos(y^2)) dy
onde é a fronteira da região delimitada pelas parábolas e . Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre uma região.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma região ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA com fronteira , que é uma curva fechada positivamente orientada, temos:
No nosso caso, identificamos e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(2x + cos(y^2)) = 2
partial Ppartial y = partialpartial y(y + e^raizx) = 1
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2 - 1 = 1

Passo 4

Agora, precisamos determinar a região (x^2)^2 = 13x implies x^4 = 13x implies x^4 - 13x = 0 implies x(x^3 - 13) = 0 delimitada pelas parábolas e . Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para estabelecer os limites de integração.
Igualando em :
As soluções são e .
Correspondentes valores de :
Para , .
Para , .

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla. A região integral duplaD 1 , dA = integral0^(13)^1/3 integralx^2^raiz13x dy , dx é limitada por de baixo e de cima. Os limites para vão de 0 a .
Então, a integral dupla fica:

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em integralx^2^raiz13x dy = raiz13x - x^2 :
integral0^(13)^1/3 (raiz13x - x^2) dx
Agora, a integral externa em fica:

Passo 7

Vamos resolver cada parte da integral separadamente:
  1. Integral de raiz13x = 1raiz3 raizx = 1raiz3 x^1/2 :
integral0^(13)^1/3 1raiz3 x^1/2 dx = 1raiz3 cdot 23 x^3/2 g|0^(13)^1/3 = 23raiz3 (13)^1/2 = 23raiz3 cdot 1raiz3 = 29
integral0^(13)^1/3 x^2 dx = 13 x^3 g|0^(13)^1/3 = 13 (13) = 19
  1. Integral de :

Passo 8

Subtraindo as duas partes:
29 - 19 = 19

Resposta

A integral vale .

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