Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. O objetivo é calcular a integral de linha dada:
onde é a fronteira da região delimitada pelas parábolas e . Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre uma região.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma região com fronteira , que é uma curva fechada positivamente orientada, temos:
No nosso caso, identificamos e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
Agora, precisamos determinar a região delimitada pelas parábolas e . Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para estabelecer os limites de integração.
Igualando em :
As soluções são e .
Correspondentes valores de :
Para , .
Para , .
Passo 5
Vamos configurar a integral dupla. A região é limitada por de baixo e de cima. Os limites para vão de 0 a .
Então, a integral dupla fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em :
Agora, a integral externa em fica:
Passo 7
Vamos resolver cada parte da integral separadamente: