Calcule a integral de linha onde C é a curva dada:
(b) integralC x y^4 d s, onde C é a metade direita do círculo x^2+y^2=16 cdot 2 cdot 4^65.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é a metade direita do círculo dado por . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais de linha, e para isso, vamos precisar parametrizar a curva e expressar , e em termos de um parâmetro, geralmente o ângulo .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação do círculo para facilitar o trabalho. A equação é 16 cdot 2 cdot 4^65 = 16 cdot 2 cdot 40965 = 16 cdot 81925 = 1310725 . Vamos calcular o valor numérico:
x^2 + y^2 = 1310725
Então, a equação do círculo fica:
Isso significa que o raio do círculo é .

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a metade direita do círculo. A parametrização padrão para um círculo é:
x = R cos theta y = R sin theta
Como queremos apenas a metade direita, x(theta) = 512raiz5 cos theta y(theta) = 512raiz5 sin theta theta in [-pi2, pi2] , ou seja, varia de a .
Então, nossa parametrização fica:

Passo 4

Precisamos também expressar d s = raiz(dxd theta)^2 + (dyd theta)^2 d theta , que é o diferencial de arco. Sabemos que:
dxd theta = -512raiz5 sin theta dyd theta = 512raiz5 cos theta
Calculando as derivadas:
d s = raiz(-512raiz5 sin theta)^2 + (512raiz5 cos theta)^2 d theta = 512raiz5 raizsin^2 theta + cos^2 theta d theta = 512raiz5 d theta
Então,

Passo 5

Agora vamos substituir tudo na integral original:
integralC x y^4 d s = integral-pi2^pi2 ( 512raiz5 cos theta ) ( 512raiz5 sin theta )^4 cdot 512raiz5 d theta
Simplificando os termos:
= integral-pi2^pi2 512raiz5 cos theta cdot ( 512^45^2 sin^4 theta ) cdot 512raiz5 d theta = 512^65^3 integral-pi2^pi2 cos theta sin^4 theta d theta
Observamos que a função = 512^65^3 cdot 2 integral0^pi2 cos theta sin^4 theta d theta é uma função ímpar em relação a 2 integral0^1 u^4 du = 2 [ u^55 ]0^1 = 2 cdot 15 = 25 , já que é par e é par, mas o produto é par. Portanto, podemos simplificar a integral:
Essa integral pode ser resolvida usando substituição:
Seja , então .
Assim:

Resposta

Substituindo de volta, temos:
integralC x y^4 d s = 512^65^3 cdot 25 = 2 cdot 512^65^4
Portanto, a integral de linha ao longo da metade direita do círculo é .

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