Calcule a integral de linha onde
é a curva dada:
(b)
, onde
é a metade direita do círculo
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é a metade direita do círculo dado por
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais de linha, e para isso, vamos precisar parametrizar a curva
e expressar
,
e
em termos de um parâmetro, geralmente o ângulo
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação do círculo para facilitar o trabalho. A equação é
. Vamos calcular o valor numérico:
Então, a equação do círculo fica:
Isso significa que o raio
do círculo é
.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a metade direita do círculo. A parametrização padrão para um círculo é:
Como queremos apenas a metade direita,
, ou seja,
varia de
a
.
Então, nossa parametrização fica:
Passo 4
Precisamos também expressar
, que é o diferencial de arco. Sabemos que:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 5
Agora vamos substituir tudo na integral original:
Simplificando os termos:
Observamos que a função
é uma função ímpar em relação a
, já que
é par e
é par, mas o produto é par. Portanto, podemos simplificar a integral:
Essa integral pode ser resolvida usando substituição:
Seja
, então
.
Assim:
Resposta
Substituindo de volta, temos:
Portanto, a integral de linha
ao longo da metade direita do círculo é
.
Exercícios relacionados
Encontre a equação da reta tangente a curva parametrizada no ponto fornecido:
(b) .
(b)
Encontre a equação cartesiana da curva parametrizada e faça um esboço:
© para
.
©
Calcule a integral de linha
:
(b) e
.
(b)
Use o Teorema de Green para calcular:
© onde
é a fronteira da região englobada pelas parábolas
.
©