Encontre a equação da reta tangente a curva parametrizada no ponto fornecido:
(b) x = t cos(t) e y = t sen(t) em t = pi y = pi x + pi^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação da reta tangente a uma curva parametrizada no ponto onde . A matéria que vamos usar aqui é de Cálculo Diferencial, especificamente sobre retas tangentes a curvas paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que nos ajudam a encontrar a derivada das funções paramétricas e, consequentemente, a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções paramétricas dadas:
Nosso objetivo é encontrar a reta tangente a essa curva no ponto correspondente a .

Passo 3

Para encontrar a reta tangente, precisamos saber dois pontos: o ponto de tangência na curva e a inclinação da reta nesse ponto.
Vamos começar calculando as coordenadas do ponto de tangência substituindo nas funções e :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, vamos calcular as derivadas de e em relação a :
A inclinação da reta tangente é dada por:
Substituindo :
Portanto, a inclinação é:

Passo 5

Com o ponto de tangência e a inclinação , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto dado é:

Exercícios relacionados

Encontre a equação cartesiana da curva parametrizada e faça um esboço:
© x = raiz(t) e y = 1 - t para t ≥ 0 . y = 1 - x².
Use o Teorema da de Green para calcular o trabalho realizado pela força F(x, y) = x(x+y) i + x y^2 j ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo x para 1,0 em um seguida ao longo de um segmento de reta até 0,1 e por fim volta a origem pelo eixo y * -1/12.
Calcule a integral de linha onde C é a curva dada:
(b) integralC x y^4 d s, onde C é a metade direita do círculo x^2+y^2=16 cdot 2 cdot 4^65.
Calcule a integral de linha integralC F cdot d r :
(b) F(x, y)=e^x-1 i+x y j com r(t)=t^2 i+t^3 j e t in[0,1] cdot 118-1e.