Encontre a equação da reta tangente a curva parametrizada no ponto fornecido:
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação da reta tangente a uma curva parametrizada no ponto onde . A matéria que vamos usar aqui é de Cálculo Diferencial, especificamente sobre retas tangentes a curvas paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que nos ajudam a encontrar a derivada das funções paramétricas e, consequentemente, a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções paramétricas dadas:
Nosso objetivo é encontrar a reta tangente a essa curva no ponto correspondente a .
Passo 3
Para encontrar a reta tangente, precisamos saber dois pontos: o ponto de tangência na curva e a inclinação da reta nesse ponto.
Vamos começar calculando as coordenadas do ponto de tangência substituindo nas funções e :
Então, o ponto de tangência é .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, vamos calcular as derivadas de e em relação a :
A inclinação da reta tangente é dada por:
Substituindo :
Portanto, a inclinação é:
Passo 5
Com o ponto de tangência e a inclinação , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto dado é: