Use o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular
onde:
(b)
onde
é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro
e pelo planos
e
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema da Divergente (Gauss). O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de superfície de um campo vetorial
sobre uma superfície
que delimita um sólido. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o teorema para transformar essa integral de superfície em uma integral tripla mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergente. Ele nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial
sobre uma superfície fechada
é igual à integral tripla do divergente de
sobre o volume
delimitado por
. Matematicamente, isso fica:
Passo 3
Vamos calcular o divergente do campo vetorial
. O divergente
é dado por:
Calculando cada derivada:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos definir o volume
sobre o qual vamos integrar. A superfície
é delimitada pelo cilindro
e pelos planos
e
. Isso significa que nosso sólido é um cilindro com raio 1, estendendo-se de
até
.
Passo 5
Vamos configurar a integral tripla usando coordenadas cilíndricas, já que o cilindro
sugere essa mudança. Nas coordenadas cilíndricas:
E como
, nosso integrando
vira
.
Passo 6
Vamos estabelecer os limites de integração:
-
varia de 0 a 1 (raio do cilindro). -
varia de 0 a (círculo completo). -
varia de -1 a .
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, multiplicamos pelo próximo termo:
Em seguida, integramos em relação a
:
Multiplicando:
Por fim, integramos em relação a
:
Multiplicando tudo:
Resposta
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Green para calcular:
© onde
é a fronteira da região englobada pelas parábolas
.
©
Calcule a integral de linha
:
(b) e
.
(b)
(d)
(f)