Use o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular integral duplaS F cdot d S onde:
(b) F(x, y, z)=3 x y^2 i+x e^z j+z^3 k onde S é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro y^2+z^2=1 e pelo planos x=-1 e x=2 cdot 9 pi2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema da Divergente (Gauss). O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície que delimita um sólido. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o teorema para transformar essa integral de superfície em uma integral tripla mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergente. Ele nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV sobre uma superfície fechada é igual à integral tripla do divergente de sobre o volume delimitado por . Matematicamente, isso fica:

Passo 3

Vamos calcular o divergente do campo vetorial nabla cdot F = partialpartial x(3xy^2) + partialpartial y(x e^z) + partialpartial z(z^3) . O divergente partialpartial x(3xy^2) = 3y^2 é dado por:
partialpartial y(x e^z) = 0 (pois x e^z não depende de y)
Calculando cada derivada:
partialpartial z(z^3) = 3z^2
nabla cdot F = 3y^2 + 0 + 3z^2 = 3(y^2 + z^2) ã
Então:

Passo 4

Agora, precisamos definir o volume sobre o qual vamos integrar. A superfície é delimitada pelo cilindro e pelos planos e . Isso significa que nosso sólido é um cilindro com raio 1, estendendo-se de até .

Passo 5

Vamos configurar a integral tripla usando coordenadas cilíndricas, já que o cilindro y = r costheta, z = r sintheta, x = x sugere essa mudança. Nas coordenadas cilíndricas:
dV = r , dr , dtheta , dx
E como , nosso integrando vira .

Passo 6

Vamos estabelecer os limites de integração:
  • integral triplaV 3r^2 cdot r , dr , dtheta , dx = 3 integral-1^9pi integral0^2pi integral0^1 r^3 , dr , dtheta , dx varia de 0 a 1 (raio do cilindro).
  • varia de 0 a (círculo completo).
  • varia de -1 a .
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 :
3 cdot 14 = 34
Agora, multiplicamos pelo próximo termo:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Em seguida, integramos em relação a 34 cdot 2pi = 3pi2 :
integral-1^9pi dx = 9pi - (-1) = 9pi + 1
Multiplicando:
3pi2 cdot (9pi + 1) = 3pi (9pi + 1)2 = 27pi^2 + 3pi2
Por fim, integramos em relação a :
Multiplicando tudo:

Resposta

integral duplaS F cdot dS = 27pi^2 + 3pi2

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Use o Teorema de Green para calcular:
© integralC(y+e^raizx) d x+(2 x+cos (y^2)) d y onde C é a fronteira da região englobada pelas parábolas y=x^2 e y^2=x cdot 13.
Calcule a integral de linha integralC F cdot d r :
(b) F(x, y)=e^x-1 i+x y j com r(t)=t^2 i+t^3 j e t in[0,1] cdot 118-1e.
(d) u'' + omega_0^2 * u = cos(omega * t), omega^2 != omega_0^2
(f) y'' + 2y' + 2y = 0, y(pi / 4) = 2, y'(pi / 4) = -2