Calcule a integral de linha onde é dada pela função vetorial .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde a curva é dada pela função vetorial . O campo vetorial é e a curva é com variando de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como parametrizar a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. É basicamente uma soma dos valores do campo vetorial ao longo da curva . Para calcular isso, precisamos parametrizar a curva, ou seja, expressar em função de um parâmetro, que nesse caso é .

Passo 3

Como já temos a parametrização da curva: . O próximo passo é encontrar a derivada de em relação a , que nos dará .

Passo 4

Calculando a derivada de :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos substituir a parametrização no campo vetorial :
Calculando cada componente:
Então, .

Passo 6

Agora, precisamos calcular o produto escalar :
Vamos calcular cada termo:
Somando todos os termos:

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão de a :
Vamos integrar termo a termo:
Somando todos os resultados:

Resposta

A integral de linha é .

Exercícios relacionados

Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.
Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções abaixo, não têm limites quando .
f)
Utilizando coordenadas polares, encontre o limite de quando ou mostre que o limite não existe.
c)
Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.