Calcule a integral de linha integralC F cdot d r onde C é dada pela função vetorial r(t).
F(x, y, z)=(x^2, 1y, x z), r(t)=(2-2 t, 1+t, 2 t), 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde a curva é dada pela função vetorial . O campo vetorial é e a curva é com variando de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como parametrizar a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. É basicamente uma soma dos valores do campo vetorial ao longo da curva . Para calcular isso, precisamos parametrizar a curva, ou seja, expressar em função de um parâmetro, que nesse caso é .

Passo 3

Como já temos a parametrização da curva: . O próximo passo é encontrar a derivada de em relação a , que nos dará .

Passo 4

Calculando a derivada de drdt = ( ddt(2 - 2t), ddt(1 + t), ddt(2t) ) = (-2, 1, 2) :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos substituir a parametrização F(r(t)) = ( (2 - 2t)^2, 11 + t, (2 - 2t)(2t) ) no campo vetorial (2 - 2t)^2 = 4 - 8t + 4t^2 :
11 + t
Calculando cada componente:
(2 - 2t)(2t) = 4t - 4t^2
Então, .

Passo 6

Agora, precisamos calcular o produto escalar F(r(t)) cdot drdt = (4 - 8t + 4t^2)(-2) + ( 11 + t )(1) + (4t - 4t^2)(2) :
(4 - 8t + 4t^2)(-2) = -8 + 16t - 8t^2
Vamos calcular cada termo:
( 11 + t )(1) = 11 + t
(4t - 4t^2)(2) = 8t - 8t^2
-8 + 16t - 8t^2 + 11 + t + 8t - 8t^2 = -8 + 24t - 16t^2 + 11 + t
Somando todos os termos:

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão de integral0^1 ( -8 + 24t - 16t^2 + 11 + t ) dt a integral0^1 -8 , dt = -8t |0^1 = -8(1) + 8(0) = -8 :
integral0^1 24t , dt = 12t^2 |0^1 = 12(1)^2 - 12(0)^2 = 12
Vamos integrar termo a termo:
integral0^1 -16t^2 , dt = -163t^3 |0^1 = -163(1)^3 + 163(0)^3 = -163
integral0^1 11 + t , dt = ln|1 + t| |0^1 = ln(2) - ln(1) = ln(2)
-8 + 12 - 163 + ln(2) = 4 - 163 + ln(2) = 123 - 163 + ln(2) = -43 + ln(2)
Somando todos os resultados:

Resposta

A integral de linha é .

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