Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar o campo vetorial gradiente da função dada:
Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis , e . Para isso, precisamos saber sobre derivadas parciais e como elas formam o gradiente de uma função.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a . Quando derivamos em relação a , tratamos e como constantes.
Aqui, é um fator constante em relação a , então a derivada de é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Desta vez, e são constantes.
Aqui, temos um produto de e . Usamos a regra do produto:

Passo 4

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Aqui, e são constantes, mas como está no denominador do expoente, precisamos aplicar a regra da cadeia.

Resposta

O campo vetorial gradiente da função é dado por:

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Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções abaixo, não têm limites quando .
f)
Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.
Calcule a integral de linha onde é dada pela função vetorial .
Utilizando coordenadas polares, encontre o limite de quando ou mostre que o limite não existe.
c)