Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar o campo vetorial gradiente da função dada:
Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis
,
e
. Para isso, precisamos saber sobre derivadas parciais e como elas formam o gradiente de uma função.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
e
como constantes.
Aqui,
é um fator constante em relação a
, então a derivada de
é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Desta vez,
e
são constantes.
Aqui, temos um produto de
e
. Usamos a regra do produto:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Aqui,
e
são constantes, mas como
está no denominador do expoente, precisamos aplicar a regra da cadeia.
Resposta
O campo vetorial gradiente da função
é dado por:
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Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções abaixo, não têm limites quando
.
f)
f)
Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.
Calcule a integral de linha
onde
é dada pela função vetorial
.
Utilizando coordenadas polares, encontre o limite de
quando
ou mostre que o limite não existe.
c)
c)