Utilizando coordenadas polares, encontre o limite de
quando
ou mostre que o limite não existe.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos aqui. Temos a função
e precisamos descobrir qual é o limite dela quando o ponto
se aproxima de
. Para fazer isso, vamos usar coordenadas polares. Isso vai ajudar a simplificar a análise do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como transformar as coordenadas cartesianas
em coordenadas polares
. As fórmulas são:
Aqui,
representa a distância do ponto até a origem e
é o ângulo formado com o eixo
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na função
usando essas equações:
Isso fica:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Note que
aparece em todos os termos do numerador e do denominador, então podemos cancelar:
Passo 5
Sabemos, pela identidade trigonométrica, que:
Então, substituindo isso na função, temos:
Passo 6
Agora, vamos pensar no limite quando
se aproxima de
. Em coordenadas polares, isso é equivalente a
se aproximando de 0. Observamos que depois de simplificar, a função
vira
, que depende apenas de
e não de
.
Passo 7
Como o valor de
depende de
, diferentes caminhos (ou ângulos) ao se aproximar do ponto
podem dar resultados diferentes. Por exemplo:
- Se
, então . - Se
, então .
Isso mostra que o limite pode variar dependendo da direção de aproximação.
Resposta
O limite de
quando
não existe.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha
onde
é dada pela função vetorial
.
Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.
Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.
Determine o trabalho realizado pela força constante
para deslocar uma partícula ao longo da reta
, do ponto
a
.