Utilizando coordenadas polares, encontre o limite de quando ou mostre que o limite não existe.
c)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui. Temos a função e precisamos descobrir qual é o limite dela quando o ponto se aproxima de . Para fazer isso, vamos usar coordenadas polares. Isso vai ajudar a simplificar a análise do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar as coordenadas cartesianas em coordenadas polares . As fórmulas são:
Aqui, representa a distância do ponto até a origem e é o ângulo formado com o eixo .

Passo 3

Agora, vamos substituir e na função usando essas equações:
Isso fica:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Note que aparece em todos os termos do numerador e do denominador, então podemos cancelar:

Passo 5

Sabemos, pela identidade trigonométrica, que:
Então, substituindo isso na função, temos:

Passo 6

Agora, vamos pensar no limite quando se aproxima de . Em coordenadas polares, isso é equivalente a se aproximando de 0. Observamos que depois de simplificar, a função vira , que depende apenas de e não de .

Passo 7

Como o valor de depende de , diferentes caminhos (ou ângulos) ao se aproximar do ponto podem dar resultados diferentes. Por exemplo:
  • Se , então .
  • Se , então .
Isso mostra que o limite pode variar dependendo da direção de aproximação.

Resposta

O limite de quando não existe.

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Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.
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