Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A missão aqui é encontrar o campo vetorial gradiente da função dada:
Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, o que é o gradiente? O gradiente de uma função de várias variáveis, como essa que temos aqui, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Ele é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Passo 3
Então, para encontrar o gradiente de
, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Passo 4
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, que representamos por
.
Dada a função:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Utilizando a mesma função:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 6
Com as derivadas parciais calculadas, podemos agora formar o gradiente. O gradiente é um vetor que combina essas derivadas:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
O campo vetorial gradiente da função
é:
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Utilizando coordenadas polares, encontre o limite de
quando
ou mostre que o limite não existe.
c)
c)
Calcule a integral de linha
onde
é dada pela função vetorial
.
Determine o trabalho realizado pela força constante
para deslocar uma partícula ao longo da reta
, do ponto
a
.
Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.