Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.
f(x, y) = (x^2 - y^2) / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A missão aqui é encontrar o campo vetorial gradiente da função dada:
Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, o que é o gradiente? O gradiente de uma função de várias variáveis, como essa que temos aqui, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Ele é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável.

Passo 3

Então, para encontrar o gradiente de , precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a .

Passo 4

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , que representamos por .
Dada a função:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é .
Utilizando a mesma função:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 6

Com as derivadas parciais calculadas, podemos agora formar o gradiente. O gradiente é um vetor que combina essas derivadas:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

O campo vetorial gradiente da função é:

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