em que é a curva interseção da esfera com o plano , percorrida no sentido anti-horário quando vista da origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão pede para calcular a integral
onde é a curva formada pela interseção da esfera com o plano . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e parametrização de curvas. Vamos por etapas para deixar tudo claro!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva . Ela é a interseção da esfera com o plano . Para encontrar essa curva, substituímos na equação da esfera:
Isso descreve um círculo de raio localizado no plano .
Passo 3
Vamos parametrizar essa curva para facilitar a integração. Como a curva é um círculo no plano , podemos usar ângulos para parametrizar e :
onde varia de a para percorrer todo o círculo.
Passo 4
Agora, precisamos expressar dx = -raiz3 sin theta , dtheta dy = 0 dz = raiz3 cos theta , dtheta , e em termos de :
Isso vai nos ajudar a substituir na integral de linha.
Passo 5
Substituindo integral0^2pi [ (raiz3 cos theta)(- raiz3 sin theta , dtheta) + (raiz3 cos theta)(1)(raiz3 sin theta)(0) + (1)(raiz3 cos theta , dtheta) ] , integral0^2pi [ -3 cos theta sin theta + raiz3 cos theta ] dtheta , , , e na integral original:
Simplificando termo a termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos separar a integral em duas partes:
-3 integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta + raiz3 integral0^2pi cos theta , dtheta