Calcule a integral de linha
integralC x d x+x y z d y+y d z
em que C é a curva interseção da esfera x^2+y^2+z^2=4 com o plano y=1, percorrida no sentido anti-horário quando vista da origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão pede para calcular a integral
integralC x , dx + x y z , dy + y , dz
onde é a curva formada pela interseção da esfera com o plano . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e parametrização de curvas. Vamos por etapas para deixar tudo claro!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva x^2 + (1)^2 + z^2 = 4 Rightarrow x^2 + z^2 = 3 . Ela é a interseção da esfera com o plano . Para encontrar essa curva, substituímos na equação da esfera:
Isso descreve um círculo de raio localizado no plano .

Passo 3

Vamos parametrizar essa curva para facilitar a integração. Como a curva é um círculo no plano x = raiz3 cos theta y = 1 z = raiz3 sin theta , podemos usar ângulos para parametrizar e :
onde varia de a para percorrer todo o círculo.

Passo 4

Agora, precisamos expressar dx = -raiz3 sin theta , dtheta dy = 0 dz = raiz3 cos theta , dtheta , e em termos de :
Isso vai nos ajudar a substituir na integral de linha.

Passo 5

Substituindo integral0^2pi [ (raiz3 cos theta)(- raiz3 sin theta , dtheta) + (raiz3 cos theta)(1)(raiz3 sin theta)(0) + (1)(raiz3 cos theta , dtheta) ] , integral0^2pi [ -3 cos theta sin theta + raiz3 cos theta ] dtheta , , , e na integral original:
Simplificando termo a termo:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes:
-3 integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta + raiz3 integral0^2pi cos theta , dtheta
Calculando cada integral:
    • Podemos usar a substituição ,
    • Então, a integral se torna avaliada de a
    • Mas e , então essa parte é zero.
    • A integral de é , avaliada de a

Passo 7

Somando as duas partes:
-3 times 0 + raiz3 times 0 = 0

Resposta

A integral de linha dada é igual a .

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