Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de Séries de Potências, que é uma parte da Análise Matemática. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência e depois verificar os pontos finais para determinar o intervalo completo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge. A ideia é calcular o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Agora, identifiquemos o termo geral da nossa série:
an = (x-2)^nn^2+1
Vamos aplicar o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (x-2)^n+1(n+1)^2+1 cdot n^2+1(x-2)^n |
Simplificando:
L = limn to infty | (x-2) cdot n^2+1(n+1)^2+1 |
Passo 4
Vamos calcular o limite:
limn to infty n^2+1(n+1)^2+1 = limn to infty n^2+1n^2+2n+2 = limn to infty 1 + 1n^21 + 2n + 2n^2 = 11 = 1
Portanto:
L = |x-2| cdot 1 = |x-2|
Passo 5
Para a série convergir, precisamos que |x-2| < 1 :
-1 < x-2 < 1
Isso significa que 1 < x < 3 está entre -1 e 1:
Adicionando 2 em todos os lados:
Então, o raio de convergência é 1, e o intervalo de convergência preliminar é .
Passo 6
Agora precisamos verificar os pontos finais an = (1-2)^nn^2+1 = (-1)^nn^2+1 e sumn=1^infty (-1)^nn^2+1 para ver se a série converge nessas fronteiras.
Para an = (3-2)^nn^2+1 = 1^nn^2+1 = 1n^2+1 :
sumn=1^infty 1n^2+1
A série se torna:
Essa é uma série alternada onde os termos são decrescentes e tendem a zero. Pelo Teste da Série Alternada, ela converge.
Para :
A série se torna:
Essa é uma série p com , que converge porque .
Resposta
O raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é .