A posição de uma partícula em movimento no plano, no tempo t, é dada por
x(t) = 1/2(t-1) y(t) = 1/4(t^2 - 2t + 1)
Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá as funções que mostram onde uma partícula está no plano em qualquer instante de tempo . Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas importantes sobre o movimento dessa partícula: a velocidade e a aceleração dela. Para isso, vamos usar o cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como as posições mudam com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade é basicamente a rapidez com que a posição da partícula muda, e a gente consegue isso tirando a derivada das funções de posição em relação ao tempo.
Temos:
Vamos derivar cada uma dessas funções em relação a .

Passo 3

Calculando a derivada de :
Agora, a derivada de :
Então, o vetor velocidade é:

Passo 4

Agora, vamos para a aceleração, que é a taxa de mudança da velocidade. Para encontrar a aceleração, derivamos novamente as componentes da velocidade em relação a .
Derivando :
E derivando :
Então, o vetor aceleração é:

Resposta

O vetor velocidade é e o vetor aceleração é .

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