A posição de uma partícula em movimento no plano, no tempo
, é dada por
Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá as funções que mostram onde uma partícula está no plano em qualquer instante de tempo
. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas importantes sobre o movimento dessa partícula: a velocidade e a aceleração dela. Para isso, vamos usar o cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como as posições mudam com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade é basicamente a rapidez com que a posição da partícula muda, e a gente consegue isso tirando a derivada das funções de posição em relação ao tempo.
Temos:
Vamos derivar cada uma dessas funções em relação a
.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Agora, a derivada de
:
Então, o vetor velocidade é:
Passo 4
Agora, vamos para a aceleração, que é a taxa de mudança da velocidade. Para encontrar a aceleração, derivamos novamente as componentes da velocidade em relação a
.
Derivando
:
E derivando
:
Então, o vetor aceleração é:
Resposta
O vetor velocidade é
e o vetor aceleração é
.
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em que
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, percorrida no sentido anti-horário quando vista da origem.
Seja
da forma
com
e
continuas. Mostre que
é conservativo.