Dados: o campo vetorial F(x, y, z)=(-y, x,-z / pi) e o caminho gamma(t)=(cos (t), sin (t), t) com t in[0,2 pi), calcule
integral F d r

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial dado por e um caminho definido por para entre e . O que precisamos calcular é a integral de linha ao longo desse caminho.
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular integrais de linha de campos vetoriais, o que envolve parametrizar o caminho, encontrar a derivada dessa parametrização e depois calcular o produto escalar entre o campo vetorial avaliado no caminho e essa derivada. Finalmente, integramos isso em relação a no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o caminho . Isso significa que para cada valor de entre e , temos um ponto no espaço que define a curva pela qual vamos integrar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de gamma'(t) = ( ddt cos(t), ddt sin(t), ddt t ) = (-sin(t), cos(t), 1) em relação a , ou seja, . Isso é feito derivando cada componente de :

Passo 4

Em seguida, substituímos F(gamma(t)) = F(cos(t), sin(t), t) = (-sin(t), cos(t), -tpi) no campo vetorial para encontrar :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar entre F(gamma(t)) cdot gamma'(t) = (-sin(t)) cdot (-sin(t)) + (cos(t)) cdot (cos(t)) + (-tpi) cdot 1 = sin^2(t) + cos^2(t) - tpi e F(gamma(t)) cdot gamma'(t) = 1 - tpi :
Sabemos que , então simplificamos:

Passo 6

Finalmente, integramos essa expressão de integral0^2pi (1 - tpi) dt a integral0^2pi 1 , dt - 1pi integral0^2pi t , dt = [ t ]0^2pi - 1pi [ t^22 ]0^2pi = (2pi - 0) - 1pi ( (2pi)^22 - 0 ) = 2pi - 1pi cdot 4pi^22 = 2pi - 2pi^2pi = 2pi - 2pi = 0 :
Vamos resolver essa integral:

Resposta

A integral de linha ao longo do caminho é igual a 0.

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Seja F: R^2 -> R^2 da forma F(x, y) = (P(x), Q(y)) com P e Q continuas. Mostre que F é conservativo.
Calcule a integral de linha
integralC x d x+x y z d y+y d z
em que C é a curva interseção da esfera x^2+y^2+z^2=4 com o plano y=1, percorrida no sentido anti-horário quando vista da origem.
Usando o caminho gamma(t)=(cos (t), sin (t), 1) com t in[0,2 pi), encontre
integralgamma x y z d s
Demonstre que dados dois campos escalares f e g, C^2 em um conjunto B subset R^2 aberto e conexo, então para toda curva sim subset B fechada, simples e C^1 por partes, vale
ointgamma f nabla g cdot d r=-ointgamma g nabla f cdot d r
Sugestão: Use o teorema de Green.