Dados: o campo vetorial
e o caminho
, calcule
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial dado por
e um caminho definido por
para
entre
e
. O que precisamos calcular é a integral de linha
ao longo desse caminho.
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular integrais de linha de campos vetoriais, o que envolve parametrizar o caminho, encontrar a derivada dessa parametrização e depois calcular o produto escalar entre o campo vetorial avaliado no caminho e essa derivada. Finalmente, integramos isso em relação a
no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o caminho
. Isso significa que para cada valor de
entre
e
, temos um ponto no espaço que define a curva pela qual vamos integrar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Isso é feito derivando cada componente de
:
Passo 4
Em seguida, substituímos
no campo vetorial
para encontrar
:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar entre
e
:
Sabemos que
, então simplificamos:
Passo 6
Finalmente, integramos essa expressão de
a
:
Vamos resolver essa integral:
Resposta
A integral de linha
ao longo do caminho
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Seja
da forma
com
e
continuas. Mostre que
é conservativo.
Calcule a integral de linha
em que
é a curva interseção da esfera
com o plano
, percorrida no sentido anti-horário quando vista da origem.
Usando o caminho
com
, encontre
Demonstre que dados dois campos escalares
e
em um conjunto
aberto e conexo, então para toda curva
fechada, simples e
por partes, vale
Sugestão: Use o teorema de Green.