Seja
da forma
com
e
continuas. Mostre que
é conservativo.
Passo 1
O exercício nos pede para mostrar que a função vetorial
, definida por
com
e
contínuas, é conservativa. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos vetoriais conservativos e as condições necessárias para que um campo seja conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Isso significa que as componentes de
são as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Uma condição importante para que um campo vetorial seja conservativo em um domínio simplesmente conexo, como
, é que o rotacional de
seja zero. O rotacional de
, denotado por
, verifica se o campo possui circulação ao redor de qualquer caminho fechado, e se for zero, não há circulação, indicando que o campo é conservativo.
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de
. Para um campo
, o rotacional é dado por:
Como
depende apenas de
, temos
. Da mesma forma,
depende apenas de
, então
. Portanto:
Passo 5
Como o rotacional de
é zero e o domínio
é simplesmente conexo (não possui “buracos”), podemos concluir, pela condição necessária do teorema de Poincaré, que
é conservativo. Ou seja, existe uma função potencial
tal que
.
Resposta
A função
é conservativa porque seu rotacional é zero no domínio considerado.
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Calcule a integral de linha
em que
é a curva interseção da esfera
com o plano
, percorrida no sentido anti-horário quando vista da origem.
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, é dada por
Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração.
Dados: o campo vetorial
e o caminho
, calcule
Usando o caminho
com
, encontre