Seja F: R^2 -> R^2 da forma F(x, y) = (P(x), Q(y)) com P e Q continuas. Mostre que F é conservativo.

Passo 1

O exercício nos pede para mostrar que a função vetorial , definida por com e contínuas, é conservativa. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos vetoriais conservativos e as condições necessárias para que um campo seja conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que . Isso significa que as componentes de são as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Uma condição importante para que um campo vetorial seja conservativo em um domínio simplesmente conexo, como , é que o rotacional de seja zero. O rotacional de , denotado por , verifica se o campo possui circulação ao redor de qualquer caminho fechado, e se for zero, não há circulação, indicando que o campo é conservativo.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de . Para um campo , o rotacional é dado por:
Como depende apenas de , temos . Da mesma forma, depende apenas de , então . Portanto:

Passo 5

Como o rotacional de é zero e o domínio é simplesmente conexo (não possui “buracos”), podemos concluir, pela condição necessária do teorema de Poincaré, que é conservativo. Ou seja, existe uma função potencial tal que .

Resposta

A função é conservativa porque seu rotacional é zero no domínio considerado.

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Calcule a integral de linha
integralC x d x+x y z d y+y d z
em que C é a curva interseção da esfera x^2+y^2+z^2=4 com o plano y=1, percorrida no sentido anti-horário quando vista da origem.
A posição de uma partícula em movimento no plano, no tempo t, é dada por
x(t) = 1/2(t-1) y(t) = 1/4(t^2 - 2t + 1)
Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração.
Dados: o campo vetorial F(x, y, z)=(-y, x,-z / pi) e o caminho gamma(t)=(cos (t), sin (t), t) com t in[0,2 pi), calcule
integral F d r
Usando o caminho gamma(t)=(cos (t), sin (t), 1) com t in[0,2 pi), encontre
integralgamma x y z d s