Calcule a integral de linha
para o campo
ao longo da curva
de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha
para o campo vetorial
ao longo da curva
definida por
no intervalo de
a
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, como parametrizar a curva e como aplicar o cálculo vetorial para encontrar a resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela nos permite somar as contribuições de um campo vetorial ao longo de uma curva. Matematicamente, para um campo vetorial
e uma curva parametrizada por
, a integral de linha é dada por:
Onde:
-
é o campo vetorial avaliado na curva. -
é a derivada da parametrização da curva. -
e são os limites do parâmetro .
Passo 3
Vamos identificar as partes necessárias para nossa integral. A curva
está parametrizada por
para
entre 0 e 1. Então, temos:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o campo vetorial
na curva
. Substituindo
,
e
pelos componentes de
:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o produto escalar entre
e
:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão de
a
:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Resposta
A integral de linha é igual a
.