Calcule a integral de linha para o campo ao longo da curva de a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha para o campo vetorial ao longo da curva definida por no intervalo de a . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, como parametrizar a curva e como aplicar o cálculo vetorial para encontrar a resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela nos permite somar as contribuições de um campo vetorial ao longo de uma curva. Matematicamente, para um campo vetorial e uma curva parametrizada por , a integral de linha é dada por:
Onde:
é o campo vetorial avaliado na curva.
é a derivada da parametrização da curva.
e são os limites do parâmetro .
Passo 3
Vamos identificar as partes necessárias para nossa integral. A curva está parametrizada por para entre 0 e 1. Então, temos:
A derivada de em relação a é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o campo vetorial na curva . Substituindo , e pelos componentes de :
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o produto escalar entre e :