Calcule a integral de linha integralC F cdot d r para o campo F(x, y, z)=(y, x, z) ao longo da curva C: r(t)= (t, t^2, t^3) de t=0 a t=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha integralC F cdot d r para o campo vetorial F(x, y, z) = (y, x, z) ao longo da curva C definida por r(t) = (t, t^2, t^3) no intervalo de t=0 a t=1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, como parametrizar a curva e como aplicar o cálculo vetorial para encontrar a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela nos permite somar as contribuições de um campo vetorial ao longo de uma curva. Matematicamente, para um campo vetorial F e uma curva parametrizada por r(t), a integral de linha é dada por:
integralC F cdot d r = integrala^b F(r(t)) cdot r'(t) , dt
Onde:
  • F(r(t)) é o campo vetorial avaliado na curva.
  • r'(t) é a derivada da parametrização da curva.
  • a e b são os limites do parâmetro t.

Passo 3

Vamos identificar as partes necessárias para nossa integral. A curva C está parametrizada por r(t) = (t, t^2, t^3) para t entre 0 e 1. Então, temos:
r(t) = ( t, t^2, t^3 )
A derivada de r(t) em relação a t é:
r'(t) = ( ddtt, ddtt^2, ddtt^3 ) = (1, 2t, 3t^2)

Passo 4

Agora, vamos avaliar o campo vetorial F na curva C. Substituindo x, y e z pelos componentes de r(t):
F(r(t)) = ( y, x, z ) = ( t^2, t, t^3 )

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o produto escalar entre F(r(t)) e r'(t):
F(r(t)) cdot r'(t) = (t^2, t, t^3) cdot (1, 2t, 3t^2) = t^2 cdot 1 + t cdot 2t + t^3 cdot 3t^2 = t^2 + 2t^2 + 3t^5 = 3t^5 + 3t^2

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de t=0 a t=1:
integral0^1 (3t^5 + 3t^2) , dt

Passo 7

Vamos resolver a integral:
integral0^1 3t^5 , dt + integral0^1 3t^2 , dt = 3 [ t^66 ]0^1 + 3 [ t^33 ]0^1 = 3 ( 16 - 0 ) + 3 ( 13 - 0 ) = 36 + 1 = 12 + 1 = 32

Resposta

A integral de linha é igual a dfrac32.

Exercícios relacionados