Calcule a integral de linha para o campo ao longo da curva de a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha para o campo vetorial ao longo da curva definida por no intervalo de a . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, como parametrizar a curva e como aplicar o cálculo vetorial para encontrar a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela nos permite somar as contribuições de um campo vetorial ao longo de uma curva. Matematicamente, para um campo vetorial e uma curva parametrizada por , a integral de linha é dada por:
Onde:
  • é o campo vetorial avaliado na curva.
  • é a derivada da parametrização da curva.
  • e são os limites do parâmetro .

Passo 3

Vamos identificar as partes necessárias para nossa integral. A curva está parametrizada por para entre 0 e 1. Então, temos:
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o campo vetorial na curva . Substituindo , e pelos componentes de :

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o produto escalar entre e :

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de a :

Passo 7

Vamos resolver a integral:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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