Exprimir cada um dos fatos abaixo sob a forma de uma equação diferencial e obter a solução para um tempo t se possível.
a) O Plutônio se decompõe numa razão proporcional à quantidade Q , presente.
b) A população P de uma cidade aumenta numa razão proporcional à população e à diferença entre 150.000 pessoas e a população.
c) Para certa substância, a razão de variação da pressão do vapor § em relação à temperatura (T) é proporcional à pressão do vapor e inversamente proporcional ao quadrado da temperatura.
d) Força= massa x aceleração.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no item a): “O Plutônio se decompõe numa razão proporcional à quantidade Q, presente.”
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial que descreve como a quantidade de Plutônio muda ao longo do tempo. Precisamos entender o conceito de degradação proporcional, onde a taxa de mudança da quantidade é proporcional à quantidade atual.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir a situação em termos matemáticos. Se a taxa de depreciação de Q é proporcional a Q, podemos expressar isso como:
Aqui, representa a taxa de variação de Q em relação ao tempo, e é a constante de proporcionalidade positiva. O sinal negativo indica que Q está diminuindo ao longo do tempo.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação diferencial. Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser resolvida separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Podemos reescrever isso exponencialmente para encontrar Q:
Aqui, é a quantidade inicial de Plutônio no tempo .

Passo 4

Vamos passar para o item b): “A população P de uma cidade aumenta numa razão proporcional à população e à diferença entre 150.000 pessoas e a população.”
Neste caso, estamos lidando com uma equação logística, que modela o crescimento populacional limitado por um ambiente restritivo.

Passo 5

Traduzindo isso matematicamente, a taxa de crescimento da população depende de e da diferença entre 150.000 e :
Aqui, é a constante de proporcionalidade positiva.

Passo 6

Esta é uma equação diferencial separável. Podemos separá-la da seguinte forma:
Integrando ambos os lados:
Rearranjando:
Exponenciando ambos os lados:
Resolvendo para :
Podemos simplificar definindo com base na condição inicial :

Passo 7

Agora, vamos para o item c): “Para certa substância, a razão de variação da pressão do vapor § em relação à temperatura (T) é proporcional à pressão do vapor e inversamente proporcional ao quadrado da temperatura.”
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial que relaciona P e T.

Passo 8

Matematicamente, isso pode ser expresso como:
Onde é a constante de proporcionalidade.

Passo 9

Esta é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Finalmente, o item d): “Força = massa × aceleração.”
Este é o primeiro princípio de Newton e pode ser interpretado como uma equação diferencial se considerarmos a aceleração como a derivada da velocidade em relação ao tempo.

Passo 11

Matematicamente, podemos escrever:
Onde:
  • é a força,
  • é a massa,
  • é a aceleração.

Passo 12

Se quisermos expressar a velocidade em termos da força, podemos rearranjar a equação:
Integrando ambos os lados em relação ao tempo:
Onde é a constante de integração, que pode ser determinada pela condição inicial da velocidade.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
Isso descreve como a velocidade de um objeto varia ao longo do tempo quando uma força constante é aplicada.

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