Exprimir cada um dos fatos abaixo sob a forma de uma equação diferencial e obter a solução para um tempo t se possível.
a) O Plutônio se decompõe numa razão proporcional à quantidade Q , presente.
b) A população P de uma cidade aumenta numa razão proporcional à população e à diferença entre 150.000 pessoas e a população.
c) Para certa substância, a razão de variação da pressão do vapor § em relação à temperatura (T) é proporcional à pressão do vapor e inversamente proporcional ao quadrado da temperatura.
d) Força= massa x aceleração.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no item a): “O Plutônio se decompõe numa razão proporcional à quantidade Q, presente.”
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial que descreve como a quantidade de Plutônio muda ao longo do tempo. Precisamos entender o conceito de degradação proporcional, onde a taxa de mudança da quantidade é proporcional à quantidade atual.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir a situação em termos matemáticos. Se a taxa de depreciação de Q é proporcional a Q, podemos expressar isso como:
Aqui, representa a taxa de variação de Q em relação ao tempo, e é a constante de proporcionalidade positiva. O sinal negativo indica que Q está diminuindo ao longo do tempo.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação diferencial. Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser resolvida separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Podemos reescrever isso exponencialmente para encontrar Q:
Aqui, é a quantidade inicial de Plutônio no tempo .
Passo 4
Vamos passar para o item b): “A população P de uma cidade aumenta numa razão proporcional à população e à diferença entre 150.000 pessoas e a população.”
Neste caso, estamos lidando com uma equação logística, que modela o crescimento populacional limitado por um ambiente restritivo.
Passo 5
Traduzindo isso matematicamente, a taxa de crescimento da população depende de e da diferença entre 150.000 e :
Aqui, é a constante de proporcionalidade positiva.
Passo 6
Esta é uma equação diferencial separável. Podemos separá-la da seguinte forma:
Integrando ambos os lados:
Rearranjando:
Exponenciando ambos os lados:
Resolvendo para :
Podemos simplificar definindo com base na condição inicial :
Passo 7
Agora, vamos para o item c): “Para certa substância, a razão de variação da pressão do vapor § em relação à temperatura (T) é proporcional à pressão do vapor e inversamente proporcional ao quadrado da temperatura.”
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial que relaciona P e T.
Passo 8
Matematicamente, isso pode ser expresso como:
Onde é a constante de proporcionalidade.
Passo 9
Esta é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando:
Onde é a constante de integração.
Passo 10
Finalmente, o item d): “Força = massa × aceleração.”
Este é o primeiro princípio de Newton e pode ser interpretado como uma equação diferencial se considerarmos a aceleração como a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Passo 11
Matematicamente, podemos escrever:
Onde:
é a força,
é a massa,
é a aceleração.
Passo 12
Se quisermos expressar a velocidade em termos da força, podemos rearranjar a equação:
Integrando ambos os lados em relação ao tempo:
Onde é a constante de integração, que pode ser determinada pela condição inicial da velocidade.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Isso descreve como a velocidade de um objeto varia ao longo do tempo quando uma força constante é aplicada.