Obter a equação diferencial associada com a primitiva dada, sendo A e B constantes essenciais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação diferencial associada à primitiva , onde e são constantes. Isso envolve entender derivadas e como relacionar a função com suas derivadas para formar uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma primitiva é basicamente uma função cuja derivada nos dá outra função. Então, se , vamos calcular a derivada dessa função em relação a .

Passo 3

Calculando a primeira derivada de :
Aqui, usamos a regra da derivada para exponenciais, onde a derivada de é e é uma constante que permanece.

Passo 4

Agora, observamos que a constante desaparece na derivada, já que a derivada de uma constante é zero. Isso significa que .

Passo 5

Vamos isolar na equação :
Isso nos permite expressar em termos de .

Passo 6

Substituímos na expressão original de :
Simplificando, obtemos:
Como é uma constante, sua derivada em relação a é zero.

Passo 7

Derivando ambos os lados da equação em relação a :
Rearranjando, temos:
Essa é a equação diferencial que relaciona e suas derivadas.

Resposta

A equação diferencial associada é:

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b)
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