Obter a equação diferencial associada com a primitiva dada, sendo A e B constantes essenciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação diferencial associada à primitiva
, onde
e
são constantes. Isso envolve entender derivadas e como relacionar a função com suas derivadas para formar uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma primitiva é basicamente uma função cuja derivada nos dá outra função. Então, se
, vamos calcular a derivada dessa função em relação a
.
Passo 3
Calculando a primeira derivada de
:
Aqui, usamos a regra da derivada para exponenciais, onde a derivada de
é
e
é uma constante que permanece.
Passo 4
Agora, observamos que a constante
desaparece na derivada, já que a derivada de uma constante é zero. Isso significa que
.
Passo 5
Vamos isolar
na equação
:
Isso nos permite expressar
em termos de
.
Passo 6
Substituímos
na expressão original de
:
Simplificando, obtemos:
Como
é uma constante, sua derivada em relação a
é zero.
Passo 7
Derivando ambos os lados da equação
em relação a
:
Rearranjando, temos:
Essa é a equação diferencial que relaciona
e suas derivadas.
Resposta
A equação diferencial associada é: