Obter a equação diferencial associada com a primitiva dada, sendo A e B constantes essenciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação diferencial associada à primitiva , onde e são constantes. Isso envolve entender derivadas e como relacionar a função com suas derivadas para formar uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma primitiva é basicamente uma função cuja derivada nos dá outra função. Então, se , vamos calcular a derivada dessa função em relação a .
Passo 3
Calculando a primeira derivada de :
Aqui, usamos a regra da derivada para exponenciais, onde a derivada de é e é uma constante que permanece.
Passo 4
Agora, observamos que a constante desaparece na derivada, já que a derivada de uma constante é zero. Isso significa que .
Passo 5
Vamos isolar na equação :
Isso nos permite expressar em termos de .
Passo 6
Substituímos na expressão original de :
Simplificando, obtemos:
Como é uma constante, sua derivada em relação a é zero.
Passo 7
Derivando ambos os lados da equação em relação a :
Rearranjando, temos:
Essa é a equação diferencial que relaciona e suas derivadas.