Determine a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular
com as condições de contorno dadas.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a temperatura de estado estacionário numa chapa retangular. A equação que descreve isso é a equação de Laplace:
As condições de contorno dadas são:
: as temperaturas nas bordas verticais da chapa são zero.
: a derivada da temperatura em relação a na borda inferior é zero, o que significa que não há fluxo de calor passando por essa borda.
: a temperatura na borda superior é uma função conhecida.
Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica poderosa para resolver equações diferenciais parciais como a equação de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de :
Isso é a base do método de separação de variáveis. Ao substituir essa forma na equação de Laplace, a gente consegue separar as variáveis e .
Passo 3
Substituindo na equação de Laplace:
Agora, dividimos ambos os lados por :
Isso separa as variáveis, permitindo que cada lado da equação dependa somente de uma variável.
Passo 4
Rearranjando a equação:
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
Para :
Para :
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para :
As soluções dessa equação dependem do sinal de . Para atender às condições de contorno , precisamos que . Isso sugere que deve ser positiva, então vamos definir , onde é um número inteiro.
Assim, as soluções para são:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação para com :
A solução geral dessa equação é:
Passo 7
Aplicando a condição de contorno na borda inferior: .
Derivando em relação a :
No :
Calculando :
No :
Então, a solução para fica:
Passo 8
Agora, nossa solução geral para é uma soma de todas as soluções separadas:
Precisamos determinar os coeficientes usando a condição de contorno na borda superior: .
Passo 9
Aplicando na solução:
Para encontrar os , multiplicamos ambos os lados por e integramos de a :
Assim, os coeficientes são:
Resposta
A temperatura de estado estacionário na chapa retangular é dada por: