Determine a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0,0
com as condições de contorno dadas.
b) lu(0, y)=u(a, y)=0 partial upartial y|y=0=0, u(x, b)=f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a temperatura de estado estacionário numa chapa retangular. A equação que descreve isso é a equação de Laplace:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0, 0 < x < a, 0 < y < b
As condições de contorno dadas são:
  • u(0, y) = u(a, y) = 0: as temperaturas nas bordas verticais da chapa são zero.
  • partial upartial y|y=0 = 0: a derivada da temperatura em relação a y na borda inferior é zero, o que significa que não há fluxo de calor passando por essa borda.
  • u(x, b) = f(x): a temperatura na borda superior é uma função f(x) conhecida.
Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica poderosa para resolver equações diferenciais parciais como a equação de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução u(x, y) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de x e outra que depende só de y:
u(x, y) = X(x) cdot Y(y)
Isso é a base do método de separação de variáveis. Ao substituir essa forma na equação de Laplace, a gente consegue separar as variáveis x e y.

Passo 3

Substituindo u(x, y) = X(x) Y(y) na equação de Laplace:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = X''(x) Y(y) + X(x) Y''(y) = 0
Agora, dividimos ambos os lados por X(x) Y(y):
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0
Isso separa as variáveis, permitindo que cada lado da equação dependa somente de uma variável.

Passo 4

Rearranjando a equação:
X''(x)X(x) = -Y''(y)Y(y) = lambda
Aqui, lambda é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
  1. Para X(x):
X''(x) + lambda X(x) = 0
  1. Para Y(y):
Y''(y) - lambda Y(y) = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para X(x):
X''(x) + lambda X(x) = 0
As soluções dessa equação dependem do sinal de lambda. Para atender às condições de contorno u(0, y) = u(a, y) = 0, precisamos que X(0) = X(a) = 0. Isso sugere que lambda deve ser positiva, então vamos definir lambda = (npia)^2, onde n é um número inteiro.
Assim, as soluções para X(x) são:
Xn(x) = sin(npi xa)

Passo 6

Agora, resolvemos a equação para Y(y) com lambda = (npia)^2:
Y''(y) - (npia)^2 Y(y) = 0
A solução geral dessa equação é:
Yn(y) = An cosh(npi ya) + Bn sinh(npi ya)

Passo 7

Aplicando a condição de contorno na borda inferior: partial upartial y|y=0 = 0.
Derivando u(x, y) em relação a y:
partial upartial y = Xn(x) Y'n(y)
No y=0:
Y'n(0) = 0
Calculando Y'n(y):
Y'n(y) = An cdot npia sinh(npi ya) + Bn cdot npia cosh(npi ya)
No y=0:
Y'n(0) = An cdot 0 + Bn cdot npia = 0 Rightarrow Bn = 0
Então, a solução para Yn(y) fica:
Yn(y) = An cosh(npi ya)

Passo 8

Agora, nossa solução geral para u(x, y) é uma soma de todas as soluções separadas:
u(x, y) = sumn=1^infty An sin(npi xa) cosh(npi ya)
Precisamos determinar os coeficientes An usando a condição de contorno na borda superior: u(x, b) = f(x).

Passo 9

Aplicando u(x, b) = f(x) na solução:
f(x) = sumn=1^infty An sin(npi xa) cosh(npi ba)
Para encontrar os An, multiplicamos ambos os lados por sin(mpi xa) e integramos de 0 a a:
integral0^a f(x) sin(mpi xa) dx = Am cosh(mpi ba) cdot a2
Assim, os coeficientes An são:
An = 2a cosh(npi ba) integral0^a f(x) sin(npi xa) dx

Resposta

A temperatura de estado estacionário na chapa retangular é dada por:
u(x, y) = sumn=1^infty [ 2a cosh(npi ba) integral0^a f(x') sin(npi x'a) dx' ] sin(npi xa) cosh(npi ya)

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