Determine a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular
com as condições de contorno dadas.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a temperatura de estado estacionário numa chapa retangular. A equação que descreve isso é a equação de Laplace:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0, 0 < x < a, 0 < y < b
As condições de contorno dadas são:
u(0, y) = u(a, y) = 0: as temperaturas nas bordas verticais da chapa são zero.
partial upartial y|y=0 = 0: a derivada da temperatura em relação a y na borda inferior é zero, o que significa que não há fluxo de calor passando por essa borda.
u(x, b) = f(x): a temperatura na borda superior é uma função f(x) conhecida.
Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica poderosa para resolver equações diferenciais parciais como a equação de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução u(x, y) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de x e outra que depende só de y:
u(x, y) = X(x) cdot Y(y)
Isso é a base do método de separação de variáveis. Ao substituir essa forma na equação de Laplace, a gente consegue separar as variáveis x e y.
Passo 3
Substituindo u(x, y) = X(x) Y(y) na equação de Laplace:
Isso separa as variáveis, permitindo que cada lado da equação dependa somente de uma variável.
Passo 4
Rearranjando a equação:
X''(x)X(x) = -Y''(y)Y(y) = lambda
Aqui, lambda é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
Para X(x):
X''(x) + lambda X(x) = 0
Para Y(y):
Y''(y) - lambda Y(y) = 0
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para X(x):
X''(x) + lambda X(x) = 0
As soluções dessa equação dependem do sinal de lambda. Para atender às condições de contorno u(0, y) = u(a, y) = 0, precisamos que X(0) = X(a) = 0. Isso sugere que lambda deve ser positiva, então vamos definir lambda = (npia)^2, onde n é um número inteiro.
Assim, as soluções para X(x) são:
Xn(x) = sin(npi xa)
Passo 6
Agora, resolvemos a equação para Y(y) com lambda = (npia)^2:
Y''(y) - (npia)^2 Y(y) = 0
A solução geral dessa equação é:
Yn(y) = An cosh(npi ya) + Bn sinh(npi ya)
Passo 7
Aplicando a condição de contorno na borda inferior: partial upartial y|y=0 = 0.