Use o Teorema de Green para calcular ointC(2 x-3 y) d x+(x+4 y) d y, onde C é o círculo x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma integral ao longo de um círculo de raio 1, e temos que encontrar o valor dessa integral. Para isso, vamos precisar entender como o Teorema de Green funciona e aplicar algumas contas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos permite transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região que está dentro dessa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC P ,dx + Q ,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx ,dy
No nosso caso, temos:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (x + 4y) = 1
partial Ppartial y = partialpartial y (2x - 3y) = -3

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - (-3) = 4
Então, a integral dupla fica:
integral duplaD 4 ,dx ,dy

Passo 5

Vamos calcular essa integral dupla. A região Área = pi times 1^2 = pi é o interior do círculo , que tem área conhecida. Sabemos que a área de um círculo de raio é . Como o raio aqui é 1:
Á

Passo 6

Multiplicando a área pela constante da integral dupla:
4 times pi = 4pi

Resposta

A integral vale .

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