Use o Teorema de Green para calcular
, onde
é o círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma integral ao longo de um círculo de raio 1, e temos que encontrar o valor dessa integral. Para isso, vamos precisar entender como o Teorema de Green funciona e aplicar algumas contas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos permite transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região que está dentro dessa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos calcular essa integral dupla. A região
é o interior do círculo
, que tem área conhecida. Sabemos que a área de um círculo de raio
é
. Como o raio aqui é 1:
Passo 6
Multiplicando a área pela constante da integral dupla:
Resposta
A integral
vale
.