Use o Teorema de Green para calcular , onde é o círculo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma integral ao longo de um círculo de raio 1, e temos que encontrar o valor dessa integral. Para isso, vamos precisar entender como o Teorema de Green funciona e aplicar algumas contas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos permite transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região que está dentro dessa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Então, a integral dupla fica:

Passo 5

Vamos calcular essa integral dupla. A região é o interior do círculo , que tem área conhecida. Sabemos que a área de um círculo de raio é . Como o raio aqui é 1:
Á

Passo 6

Multiplicando a área pela constante da integral dupla:

Resposta

A integral vale .

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Calcule a integral de linha para o campo ao longo da curva de a .
Obter a equação diferencial associada com a primitiva dada, sendo A e B constantes essenciais.
Exprimir cada um dos fatos abaixo sob a forma de uma equação diferencial e obter a solução para um tempo t se possível.
a) O Plutônio se decompõe numa razão proporcional à quantidade Q , presente.
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c) Para certa substância, a razão de variação da pressão do vapor § em relação à temperatura (T) é proporcional à pressão do vapor e inversamente proporcional ao quadrado da temperatura.
d) Força= massa x aceleração.
Resolva os seguintes problemas de valor de contorno usando a série de Fourier generalizada.
b)