Encontre a integral
ao longo do caminho
que vai de
a
via o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! Primeiro, o enunciado pede para calcular a integral
ao longo do caminho
que vai de
a
passando pelo ponto
. Aqui, estamos lidando com uma integral de linha, que envolve calcular a soma de pequenas contribuições ao longo de um caminho específico no plano. Para resolver isso, vamos dividir o caminho
em duas partes: de
a
e de
a
. Vamos precisar parametrizar cada trecho e calcular a integral em cada parte.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o trecho de
a
. Nesse trecho, o movimento é somente na direção do eixo
, já que a coordenada
permanece zero. Podemos parametrizar esse caminho definindo
como uma variável que vai de 0 a 1, e
. Então, temos:
Com essa parametrização,
e
.
Passo 3
Agora, vamos substituir esses valores na integral para o primeiro trecho:
Simplificando:
Calculando essa integral:
Passo 4
Agora, vamos para o segundo trecho do caminho, de
a
. Nesse trecho, o movimento é somente na direção do eixo
, já que a coordenada
permanece constante em 1. Podemos parametrizar esse caminho definindo
como uma variável que vai de 0 a 1, e
. Então, temos:
Com essa parametrização,
e
.
Passo 5
Substituindo na integral para o segundo trecho:
Simplificando:
Calculando essa integral:
Resposta
Somando as integrais dos dois trechos:
Então, o valor da integral é
.