Encontre a integral ao longo do caminho que vai de a via o ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! Primeiro, o enunciado pede para calcular a integral ao longo do caminho que vai de a passando pelo ponto . Aqui, estamos lidando com uma integral de linha, que envolve calcular a soma de pequenas contribuições ao longo de um caminho específico no plano. Para resolver isso, vamos dividir o caminho em duas partes: de a e de a . Vamos precisar parametrizar cada trecho e calcular a integral em cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o trecho de a . Nesse trecho, o movimento é somente na direção do eixo , já que a coordenada permanece zero. Podemos parametrizar esse caminho definindo como uma variável que vai de 0 a 1, e . Então, temos:
Com essa parametrização, e .

Passo 3

Agora, vamos substituir esses valores na integral para o primeiro trecho:
Simplificando:
Calculando essa integral:

Passo 4

Agora, vamos para o segundo trecho do caminho, de a . Nesse trecho, o movimento é somente na direção do eixo , já que a coordenada permanece constante em 1. Podemos parametrizar esse caminho definindo como uma variável que vai de 0 a 1, e . Então, temos:
Com essa parametrização, e .

Passo 5

Substituindo na integral para o segundo trecho:
Simplificando:
Calculando essa integral:

Resposta

Somando as integrais dos dois trechos:
Então, o valor da integral é .

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