Encontre a integral integralC(3 x-2 y) d x+(x+4 y) d y ao longo do caminho C que vai de (0,0) a (1,1) via o ponto (1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! Primeiro, o enunciado pede para calcular a integral ao longo do caminho que vai de a passando pelo ponto . Aqui, estamos lidando com uma integral de linha, que envolve calcular a soma de pequenas contribuições ao longo de um caminho específico no plano. Para resolver isso, vamos dividir o caminho em duas partes: de a e de a . Vamos precisar parametrizar cada trecho e calcular a integral em cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o trecho de x = t (0 <= t <= 1) y = 0 a . Nesse trecho, o movimento é somente na direção do eixo , já que a coordenada permanece zero. Podemos parametrizar esse caminho definindo como uma variável que vai de 0 a 1, e . Então, temos:
Com essa parametrização, e .

Passo 3

Agora, vamos substituir esses valores na integral para o primeiro trecho:
integralC1 (3x - 2y) , dx + (x + 4y) , dy = integral0^1 [3t - 2(0)] , dt + integral0^1 [t + 4(0)] cdot 0 , dt
Simplificando:
integral0^1 3t , dt + integral0^1 0 , dt = integral0^1 3t , dt
Calculando essa integral:
3 integral0^1 t , dt = 3 [ t^22 ]0^1 = 3 ( 12 - 0 ) = 32

Passo 4

Agora, vamos para o segundo trecho do caminho, de x = 1 y = t (0 <= t <= 1) a . Nesse trecho, o movimento é somente na direção do eixo , já que a coordenada permanece constante em 1. Podemos parametrizar esse caminho definindo como uma variável que vai de 0 a 1, e . Então, temos:
Com essa parametrização, e .

Passo 5

Substituindo na integral para o segundo trecho:
integralC2 (3x - 2y) , dx + (x + 4y) , dy = integral0^1 [3(1) - 2t] cdot 0 , dt + integral0^1 [1 + 4t] , dt
Simplificando:
integral0^1 0 , dt + integral0^1 (1 + 4t) , dt = integral0^1 (1 + 4t) , dt
Calculando essa integral:
integral0^1 1 , dt + 4 integral0^1 t , dt = [ t ]0^1 + 4 [ t^22 ]0^1 = (1 - 0) + 4 ( 12 - 0 ) = 1 + 2 = 3

Resposta

Somando as integrais dos dois trechos:
32 + 3 = 32 + 62 = 92
Então, o valor da integral é .

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