Encontre a integral
ao longo do caminho
que vai de
a
via o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! Primeiro, o enunciado pede para calcular a integral
ao longo do caminho
que vai de
a
passando pelo ponto
. Aqui, estamos lidando com uma integral de linha, que envolve calcular a soma de pequenas contribuições ao longo de um caminho específico no plano. Para resolver isso, vamos dividir o caminho
em duas partes: de
a
e de
a
. Vamos precisar parametrizar cada trecho e calcular a integral em cada parte.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o trecho de
a
. Nesse trecho, o movimento é somente na direção do eixo
, já que a coordenada
permanece zero. Podemos parametrizar esse caminho definindo
como uma variável que vai de 0 a 1, e
. Então, temos:
Com essa parametrização,
e
.
Passo 3
Agora, vamos substituir esses valores na integral para o primeiro trecho:
Simplificando:
Calculando essa integral:
Passo 4
Agora, vamos para o segundo trecho do caminho, de
a
. Nesse trecho, o movimento é somente na direção do eixo
, já que a coordenada
permanece constante em 1. Podemos parametrizar esse caminho definindo
como uma variável que vai de 0 a 1, e
. Então, temos:
Com essa parametrização,
e
.
Passo 5
Substituindo na integral para o segundo trecho:
Simplificando:
Calculando essa integral:
Resposta
Somando as integrais dos dois trechos:
Então, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha
ao longo da curva
parametrizada por
, com
.
Calcule a integral de linha
para o campo
ao longo da curva
de
a
.
Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com velocidade
metros por segundo para
. Encontre: (i) o deslocamento e (ii) a distância total percorrida no intervalo de tempo dado.
Use o Teorema de Green para calcular a área da região limitada pelo círculo
.