Calcule a integral de linha
ao longo da curva
parametrizada por
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular a integral
ao longo da curva
parametrizada por
para
. A gente vai trabalhar com integrais de linha, que envolvem parametrizar a curva e usar cálculo para encontrar o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva. A curva
é dada por
, onde
varia de 0 a 1. Isso significa que, para cada valor de
nesse intervalo, temos um ponto na curva.
Passo 3
A integral que queremos calcular é
. Para resolver isso, vamos expressar
e
em termos de
. Sabemos que:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Então,
.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
A integral de
é:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha
para o campo
ao longo da curva
de
a
.
Verifique o Teorema de Green para o campo
ao redor da região limitada pelo triângulo com vértices em
.
Encontre a integral
ao longo do caminho
que vai de
a
via o ponto
.
Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com velocidade
metros por segundo para
. Encontre: (i) o deslocamento e (ii) a distância total percorrida no intervalo de tempo dado.