Calcule a integral de linha integralC x^2 d y ao longo da curva C parametrizada por r(t)=(t^2, t^3), com 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular a integral integralC x^2 , dy ao longo da curva C parametrizada por r(t) = (t^2, t^3) para 0 <= t <= 1. A gente vai trabalhar com integrais de linha, que envolvem parametrizar a curva e usar cálculo para encontrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva. A curva C é dada por r(t) = (x(t), y(t)) = (t^2, t^3), onde t varia de 0 a 1. Isso significa que, para cada valor de t nesse intervalo, temos um ponto na curva.

Passo 3

A integral que queremos calcular é integralC x^2 , dy. Para resolver isso, vamos expressar x e dy em termos de t. Sabemos que:
  • x(t) = t^2
  • y(t) = t^3
Agora, vamos calcular a derivada de y em relação a t para encontrar dy:
dydt = ddt(t^3) = 3t^2
Então, dy = 3t^2 , dt.

Passo 4

Substituindo x(t) e dy na integral original, temos:
integralC x^2 , dy = integral0^1 (t^2)^2 cdot 3t^2 , dt
Simplificando a expressão dentro da integral:
(t^2)^2 = t^4
Portanto:
integral0^1 t^4 cdot 3t^2 , dt = integral0^1 3t^6 , dt

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
integral0^1 3t^6 , dt = 3 integral0^1 t^6 , dt
A integral de t^6 é:
integral t^6 , dt = t^77 + C
Aplicando os limites de 0 a 1:
3 [ t^77 ]0^1 = 3 ( 1^77 - 0^77 ) = 3 ( 17 - 0 ) = 37

Resposta

O valor da integral é dfrac37.

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