Calcule a integral de linha ao longo da curva parametrizada por , com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular a integral ao longo da curva parametrizada por para . A gente vai trabalhar com integrais de linha, que envolvem parametrizar a curva e usar cálculo para encontrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva. A curva é dada por , onde varia de 0 a 1. Isso significa que, para cada valor de nesse intervalo, temos um ponto na curva.

Passo 3

A integral que queremos calcular é . Para resolver isso, vamos expressar e em termos de . Sabemos que:
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a para encontrar :
Então, .

Passo 4

Substituindo e na integral original, temos:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
A integral de é:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Resposta

O valor da integral é .

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