Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
F(x, y)=x^2 y i-x y j,
r(t)=t^3 i+t^4 j, 0 <= t <= 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha integralC F cdot dr, onde a curva C é definida pela função vetorial r(t) = t^3 i + t^4 j, para t entre 0 e 1. O campo vetorial F é dado por F(x, y) = x^2 y i - x y j. Para resolver isso, vamos usar a parametrização da curva e aplicar a definição da integral de linha.

Passo 2

A integral de linha integralC F cdot dr pode ser calculada usando a fórmula:
integrala^b F(r(t)) cdot r'(t) , dt
Aqui, r(t) é a parametrização da curva, e r'(t) é a derivada dessa parametrização em relação a t.

Passo 3

Vamos calcular r'(t), que é a derivada de r(t) = t^3 i + t^4 j:
r'(t) = ddt(t^3) i + ddt(t^4) j = 3t^2 i + 4t^3 j

Passo 4

Agora, substituímos r(t) na função F(x, y) para obter F(r(t)):
F(r(t)) = (t^3)^2 t^4 i - t^3 t^4 j = t^6 t^4 i - t^7 j = t^10 i - t^7 j

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t):
F(r(t)) cdot r'(t) = (t^10 i - t^7 j) cdot (3t^2 i + 4t^3 j) = t^10 cdot 3t^2 + (-t^7) cdot 4t^3 = 3t^12 - 4t^10

Passo 6

Finalmente, integramos essa expressão de t = 0 a t = 1:
integral0^1 (3t^12 - 4t^10) , dt = 3 integral0^1 t^12 , dt - 4 integral0^1 t^10 , dt
Calculando cada integral separadamente:
3 cdot [t^1313]0^1 - 4 cdot [t^1111]0^1 = 3 (1^1313 - 0) - 4 (1^1111 - 0) = 313 - 411
Encontrando o denominador comum (143):
313 = 33143, 411 = 52143
Então:
33143 - 52143 = -19143

Resposta

A integral de linha é -dfrac19143.

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Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
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r(t)=t i+t^2 j+t^4 k, 0 <= t <= 1
Esboce os gráficos das funções abaixo:
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