a)
e
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
f)
.
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais
e
. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo . Para resolver, vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (
) e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução dessa equação é baseada nas raízes da equação característica
.
Passo 3
Vamos encontrar as raízes da equação característica:
Como as raízes são complexas (
e
), a solução da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa . Como o termo não homogêneo é , que não é solução da equação homogênea, podemos assumir uma solução particular da forma:
onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 5
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Para que a igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de
e devem ser iguais nos dois lados da equação:
Portanto, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Passo 9
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Primeiro, encontramos a derivada de
Aplicando
:
Passo 10
Substituindo
e
na solução geral:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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a
, de
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