Calcule a integral de linha, onde é a curva dada. , consiste nos segmentos de reta de a , de a , e de a
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde é uma curva formada por três segmentos de reta: de a , de a e de a . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente parametrização de curvas e cálculo de integrais ao longo de caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a integral de linha que temos é uma soma das contribuições ao longo de cada segmento da curva . Então, vamos dividir a integral em três partes correspondentes aos três segmentos:
De a
De a
De a
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Segmento 1: De a
Nesse segmento, apenas a coordenada varia de 0 a 2, enquanto e permanecem constantes em 0. Vamos parametrizar essa trajetória:
Calculamos as derivadas em relação a :
Agora, substituímos na integral:
Então, a contribuição desse segmento é 0.
Passo 4
Segmento 2: De x(t) = 2 - t y(t) = 0 + 3t z(t) = 0 - t para t in [0,1] a dxdt = -1, dydt = 3, dzdt = -1