Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC y z d x+x z d y+x y d z,
C consiste nos segmentos de reta de (0,0,0) a (2,0,0), de (2,0,0) a (1,3,-1), e de (1,3,-1) a (1,3,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde é uma curva formada por três segmentos de reta: de a , de a e de a . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente parametrização de curvas e cálculo de integrais ao longo de caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral de linha que temos é uma soma das contribuições ao longo de cada segmento da curva . Então, vamos dividir a integral em três partes correspondentes aos três segmentos:
  1. De a
  2. De a
  3. De a
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Segmento 1: De x(t) = 2t y(t) = 0 z(t) = 0 para t in [0,1] a dxdt = 2, dydt = 0, dzdt = 0
Nesse segmento, apenas a coordenada integral0^1 [y(t)z(t) cdot dxdt + x(t)z(t) cdot dydt + x(t)y(t) cdot dzdt] , dt = integral0^1 [0 cdot 0 cdot 2 + 2t cdot 0 cdot 0 + 2t cdot 0 cdot 0] , dt = 0 varia de 0 a 2, enquanto e permanecem constantes em 0. Vamos parametrizar essa trajetória:
Calculamos as derivadas em relação a :
Agora, substituímos na integral:
Então, a contribuição desse segmento é 0.

Passo 4

Segmento 2: De x(t) = 2 - t y(t) = 0 + 3t z(t) = 0 - t para t in [0,1] a dxdt = -1, dydt = 3, dzdt = -1
Agora, integral0^1 [y(t)z(t) cdot dxdt + x(t)z(t) cdot dydt + x(t)y(t) cdot dzdt] , dt , 3t^2 - 6t + 3t^2 - 6t + 3t^2 = 9t^2 - 12t e integral0^1 (9t^2 - 12t) , dt = [ 3t^3 - 6t^2 ]0^1 = (3 - 6) - (0 - 0) = -3 variam. Vamos parametrizar esse segmento. Podemos usar uma parametrização linear:
As derivadas são:
Substituindo na integral:
Vamos calcular cada termo:
Somando todos os termos:
Integrando de 0 a 1:
Então, a contribuição desse segmento é .

Passo 5

Segmento 3: De x(t) = 1 y(t) = 3 z(t) = -1 + t para t in [0,1] a dxdt = 0, dydt = 0, dzdt = 1
Aqui, apenas a coordenada integral0^1 [y(t)z(t) cdot dxdt + x(t)z(t) cdot dydt + x(t)y(t) cdot dzdt] , dt = integral0^1 [3(-1 + t) cdot 0 + 1(-1 + t) cdot 0 + 1 cdot 3 cdot 1] , dt = integral0^1 3 , dt = 3t |0^1 = 3 varia de a 0, enquanto e permanecem constantes em 1 e 3, respectivamente. Vamos parametrizar:
As derivadas:
Substituindo na integral:
Então, a contribuição desse segmento é .

Resposta

Somando as contribuições de todos os segmentos:
0 + (-3) + 3 = 0
Portanto, a integral de linha ao longo da curva é igual a 0.

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC y z d y+x y d z, C: x=raizt, y=t, z=t^2, 0 <= t <= 1
Esboce os gráficos das funções abaixo:
f(x) = x - 3 ln(x) - 2/x
a) x'' + 4x = sen(t), x(0) = 0 e dot(x)(0) = 0;
b) dot(x) + 4 x = cos(t), x(0) = 0;
c) dot(x) - 3 x = t + e^(t), x(0) = 0;
d) \ddot{x} + 2 \dot{x} + x = t + e^{t}, x(0) = \dot{x}(0) = 0;
e) x'' + 4x = cos(2t), x(0) = x'(0) = 0;
f) d^2x/dt^2 + 4x = e^t sen(t), x(0) = 0, dx(0)/dt = 0.
Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
F(x, y)=x^2 y i-x y j,
r(t)=t^3 i+t^4 j, 0 <= t <= 1