Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t). F(x, y, z)=(x+y^2) i+x z j+(y+z) k, r(t)=t^3 i-t^2 j+t k, 0 <= t <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A gente precisa calcular , onde e a curva é dada pela função vetorial para .
Aqui, vamos usar o conceito de integral de linha, que basicamente soma os componentes do campo vetorial ao longo da curva . Para resolver isso, precisamos parametrizar a curva, substituir na expressão do campo , calcular a derivada da função vetorial e então integrar tudo isso no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial r(t) = t^3 i - t^2 j + t k :
x(t) = t^3, y(t) = -t^2, z(t) = t
Isso significa que as coordenadas , e em termos de são:

Passo 3

Agora, vamos expressar o campo vetorial F(x(t), y(t), z(t)) = ( t^3 + (-t^2)^2 ) i + ( t^3 cdot t ) j + ( -t^2 + t ) k em termos de F(t) = ( t^3 + t^4 ) i + t^4 j + ( -t^2 + t ) k . Substituímos , e na expressão de :
Simplificando cada componente:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a derivada da função vetorial drdt = ddt(t^3) i + ddt(-t^2) j + ddt(t) k = 3t^2 i - 2t j + k em relação a , que é :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F(t) cdot drdt = ( t^3 + t^4 )(3t^2) + t^4(-2t) + (-t^2 + t)(1) :
= 3t^2(t^3 + t^4) + (-2t)(t^4) + (-t^2 + t)
Vamos multiplicar cada termo:
= 3t^5 + 3t^6 - 2t^5 - t^2 + t
= 3t^6 + (3t^5 - 2t^5) - t^2 + t = 3t^6 + t^5 - t^2 + t
Agora, combinamos termos semelhantes:

Passo 6

Por fim, vamos integrar essa expressão de integral0^2 (3t^6 + t^5 - t^2 + t) , dt até = [ 37t^7 + 16t^6 - 13t^3 + 12t^2 ]0^2 :
37(2)^7 + 16(2)^6 - 13(2)^3 + 12(2)^2 = 37(128) + 16(64) - 13(8) + 12(4)
Integrando termo a termo:
= 3847 + 646 - 83 + 2
Agora, substituímos os limites de integração:
Para = 3847 + 323 - 83 + 2 = 3847 + 243 + 2 = 3847 + 8 + 2 :
= 3847 + 10 = 384 + 707 = 4547
Simplificando as frações:
Para :
Todos os termos serão zero.

Resposta

A integral de linha vale .

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