Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial . .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A gente precisa calcular , onde e a curva é dada pela função vetorial para .
Aqui, vamos usar o conceito de integral de linha, que basicamente soma os componentes do campo vetorial ao longo da curva . Para resolver isso, precisamos parametrizar a curva, substituir na expressão do campo , calcular a derivada da função vetorial e então integrar tudo isso no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial :
Isso significa que as coordenadas , e em termos de são:

Passo 3

Agora, vamos expressar o campo vetorial em termos de . Substituímos , e na expressão de :
Simplificando cada componente:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a derivada da função vetorial em relação a , que é :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :
Vamos multiplicar cada termo:
Agora, combinamos termos semelhantes:

Passo 6

Por fim, vamos integrar essa expressão de até :
Integrando termo a termo:
Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Simplificando as frações:
Para :
Todos os termos serão zero.

Resposta

A integral de linha vale .

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou veñitique que o limite nos existe.
Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
.
Determine o trabalho realizado pelo campo de forças ao mover um objeto de para . .
Use a forma da definição de integral para computar a integral: