Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A gente precisa calcular
, onde
e a curva
é dada pela função vetorial
para
.
Aqui, vamos usar o conceito de integral de linha, que basicamente soma os componentes do campo vetorial
ao longo da curva
. Para resolver isso, precisamos parametrizar a curva, substituir na expressão do campo
, calcular a derivada da função vetorial
e então integrar tudo isso no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial
:
Isso significa que as coordenadas
,
e
em termos de
são:
Passo 3
Agora, vamos expressar o campo vetorial
em termos de
. Substituímos
,
e
na expressão de
:
Simplificando cada componente:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar a derivada da função vetorial
em relação a
, que é
:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Vamos multiplicar cada termo:
Agora, combinamos termos semelhantes:
Passo 6
Por fim, vamos integrar essa expressão de
até
:
Integrando termo a termo:
Agora, substituímos os limites de integração:
Para
:
Simplificando as frações:
Para
:
Todos os termos serão zero.
Resposta
A integral de linha
vale
.
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou veñitique que o limite nos existe.
Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
.
Determine o trabalho realizado pelo campo de forças
ao mover um objeto de
para
.
.
Use a forma da definição de integral para computar a integral: