Use a forma da definição de integral para computar a integral:

Passo 1

Então, temos que calcular a integral definida de de 1 a 2, ou seja, . Isso está relacionado ao estudo de cálculo integral, especificamente à definição de integral como o limite de somas de áreas de retângulos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a integral é definida e aplicar esse conceito passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral definida representa a área sob a curva da função entre os limites e . De acordo com a definição de integral de Riemann, isso pode ser aproximado somando as áreas de pequenos retângulos sob a curva e, em seguida, tomando o limite quando o número de retângulos aumenta infinitamente e a largura de cada retângulo se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos dividir o intervalo de integração [1, 2] em subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo, chamada de , será:

Passo 4

Escolhemos pontos de amostragem dentro de cada subintervalo para avaliar a função . Tipicamente, usamos o ponto direito de cada subintervalo. Assim, o -ésimo ponto de amostragem será:
onde .

Passo 5

A soma de Riemann que aproxima a integral será então:

Passo 6

Agora, expandimos a expressão :
Então, a soma se torna:

Passo 7

Distribuímos na soma:
Separando as somas:

Passo 8

Utilizamos as fórmulas das somas:
Substituindo na expressão de :

Passo 9

Simplificando cada termo:

Passo 10

Tomamos o limite de quando tende ao infinito para encontrar a integral:

Resposta

A integral é igual a .

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Determine o trabalho realizado pelo campo de forças ao mover um objeto de para . .
Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial . .
Use a forma da definição de integral para computar a integral:
Prove que: .