Use a forma da definição de integral para computar a integral: integral1^2(x^3) d x

Passo 1

Então, temos que calcular a integral definida de de 1 a 2, ou seja, . Isso está relacionado ao estudo de cálculo integral, especificamente à definição de integral como o limite de somas de áreas de retângulos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a integral é definida e aplicar esse conceito passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral definida representa a área sob a curva da função entre os limites e . De acordo com a definição de integral de Riemann, isso pode ser aproximado somando as áreas de pequenos retângulos sob a curva e, em seguida, tomando o limite quando o número de retângulos aumenta infinitamente e a largura de cada retângulo se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos dividir o intervalo de integração [1, 2] em De subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo, chamada de , será:

Passo 4

Escolhemos pontos de amostragem dentro de cada subintervalo para avaliar a função xi = 1 + i cdot De. Tipicamente, usamos o ponto direito de cada subintervalo. Assim, o -ésimo ponto de amostragem será:
onde .

Passo 5

A soma de Riemann que aproxima a integral será então:
Sn = sumi=1^n f(xi) cdot De

Passo 6

Agora, expandimos a expressão (1 + in)^3 = 1 + 3in + 3(in)^2 + (in)^3 :
Sn = sumi=1^n (1 + 3in + 3(in)^2 + (in)^3) cdot 1n
Então, a soma se torna:

Passo 7

Distribuímos Sn = sumi=1^n (1n + 3in^2 + 3i^2n^3 + i^3n^4) na soma:
Sn = 1n sumi=1^n 1 + 3n^2 sumi=1^n i + 3n^3 sumi=1^n i^2 + 1n^4 sumi=1^n i^3
Separando as somas:

Passo 8

Utilizamos as fórmulas das somas:
sumi=1^n 1 = n
sumi=1^n i = n(n+1)2
sumi=1^n i^2 = n(n+1)(2n+1)6
sumi=1^n i^3 = (n(n+1)2)^2
Substituindo na expressão de Sn = 1n cdot n + 3n^2 cdot n(n+1)2 + 3n^3 cdot n(n+1)(2n+1)6 + 1n^4 cdot (n(n+1)2)^2 :

Passo 9

Simplificando cada termo:
Sn = 1 + 3(n+1)2n + (n+1)(2n+1)2n^2 + (n+1)^24n^2

Passo 10

Tomamos o limite de integral1^2 x^3 dx = limn to infty Sn = 1 + 32 + 22 + 14 = 154 quando tende ao infinito para encontrar a integral:

Resposta

A integral é igual a .

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