Use a forma da definição de integral para computar a integral:
Passo 1
Então, temos que calcular a integral definida de
de 1 a 2, ou seja,
. Isso está relacionado ao estudo de cálculo integral, especificamente à definição de integral como o limite de somas de áreas de retângulos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a integral é definida e aplicar esse conceito passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral definida
representa a área sob a curva da função
entre os limites
e
. De acordo com a definição de integral de Riemann, isso pode ser aproximado somando as áreas de pequenos retângulos sob a curva e, em seguida, tomando o limite quando o número de retângulos aumenta infinitamente e a largura de cada retângulo se aproxima de zero.
Passo 3
Vamos dividir o intervalo de integração [1, 2] em
subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo, chamada de
, será:
Passo 4
Escolhemos pontos de amostragem dentro de cada subintervalo para avaliar a função
. Tipicamente, usamos o ponto direito de cada subintervalo. Assim, o
-ésimo ponto de amostragem será:
onde
.
Passo 5
A soma de Riemann que aproxima a integral será então:
Passo 6
Agora, expandimos a expressão
:
Então, a soma se torna:
Passo 7
Distribuímos
na soma:
Separando as somas:
Passo 8
Utilizamos as fórmulas das somas:
Substituindo na expressão de
:
Passo 9
Simplificando cada termo:
Passo 10
Tomamos o limite de
quando
tende ao infinito para encontrar a integral:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine o trabalho realizado pelo campo de forças
ao mover um objeto de
para
.
.
Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
.
Use a forma da definição de integral para computar a integral:
Prove que:
.