Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
t^2 y'' - (t + 2) t y' + (t - 2) y = 0, t > 0, y1 = t.

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
E já sabemos que uma solução dessa equação é .
O que vamos precisar pra resolver isso é entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e usar um método chamado redução de ordem pra encontrar outra solução diferente da que já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
Pra isso, dividimos toda a equação por :
Aqui, temos:

Passo 3

Como a gente já sabe uma solução , vamos usar o método de redução de ordem pra achar outra solução .
A fórmula pra isso é:
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, calculamos :
Aqui, é a constante de integração, que a gente pode ignorar porque vai se cancelar depois.
Então,

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do :
Simplificando:
Como a gente só precisa de uma solução particular, podemos ignorar a constante .

Resposta

Uma solução distinta é .

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