Determine o limite, se existir, ou veñitique que o limite nos existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o limite, se existir, de uma função quando (x, y) se aproxima de (0,0). A função que temos é:
Isso está ligado ao conteúdo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares, que facilitam a análise do comportamento da função perto da origem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em vez de usar x e y diretamente, usamos r e θ, onde:
- r é a distância do ponto (x, y) até a origem (0,0).
- θ é o ângulo que a linha do ponto até a origem faz com o eixo x.
As relações são:
Usar coordenadas polares é útil porque, quando r tende a 0, estamos analisando o comportamento da função próximo à origem de qualquer direção.
Passo 3
Vamos substituir x e y na função original pelas expressões em coordenadas polares:
Simplificando o numerador e o denominador:
Usei a identidade trigonométrica
para simplificar o denominador.
Passo 4
Agora, analisamos o limite da expressão simplificada quando r tende a 0:
Sabemos que
e
são valores limitados (sempre entre 0 e 1), então:
Como
, pelo Teorema do Aperfeiçoamento (ou Teorema do Squeeze), o limite da nossa expressão também é 0.
Resposta
O limite é 0.
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Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
.
Determine se
é ou não um campo conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
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, onde
é dada pela função vetorial
.
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Determine o trabalho realizado pelo campo de forças
ao mover um objeto de
para
.
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