Determine o limite, se existir, ou veñitique que o limite nos existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o limite, se existir, de uma função quando (x, y) se aproxima de (0,0). A função que temos é:
Isso está ligado ao conteúdo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares, que facilitam a análise do comportamento da função perto da origem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em vez de usar x e y diretamente, usamos r e θ, onde:
  • r é a distância do ponto (x, y) até a origem (0,0).
  • θ é o ângulo que a linha do ponto até a origem faz com o eixo x.
As relações são:
Usar coordenadas polares é útil porque, quando r tende a 0, estamos analisando o comportamento da função próximo à origem de qualquer direção.

Passo 3

Vamos substituir x e y na função original pelas expressões em coordenadas polares:
Simplificando o numerador e o denominador:
Usei a identidade trigonométrica para simplificar o denominador.

Passo 4

Agora, analisamos o limite da expressão simplificada quando r tende a 0:
Sabemos que e são valores limitados (sempre entre 0 e 1), então:
Como , pelo Teorema do Aperfeiçoamento (ou Teorema do Squeeze), o limite da nossa expressão também é 0.

Resposta

O limite é 0.

Exercícios relacionados

Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
.
Determine se é ou não um campo conservativo. Se for, determine uma função tal que . .
Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial . .
Determine o trabalho realizado pelo campo de forças ao mover um objeto de para . .