Determine o trabalho realizado pelo campo de forças F ao mover um objeto de P para Q. F(x, y) = x^3 i + y^3 j P(1, 0), Q(2, 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o trabalho realizado por um campo de forças F ao mover um objeto do ponto P(1, 0) para o ponto Q(2,2). Isso envolve conceitos de cálculo de integrais de linha no contexto de campos vetoriais.
Para resolver esse exercício, vamos precisar entender:
  • O que é trabalho realizado por um campo de forças.
  • Como calcular integrais de linha para determinar esse trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o trabalho realizado por um campo de forças. Basicamente, é uma medida de energia transferida quando uma força atua sobre um objeto ao longo de um caminho. Matematicamente, isso é calculado usando a integral de linha da força ao longo do caminho.

Passo 3

A força dada é . Isso significa que a componente x da força é e a componente y é .

Passo 4

Para calcular o trabalho, precisamos parametrizar o caminho de P a Q. Uma maneira simples é usar uma linha reta entre os dois pontos. Vamos definir a parametrização como:
Aqui, quando t = 0, estamos em P(1, 0), e quando t = 1, chegamos em Q(2,2).

Passo 5

Agora, vamos derivar r(t) em relação a t para obter :
Essa derivada representa o vetor tangente ao caminho no ponto t.

Passo 6

Em seguida, substituímos r(t) na força F:
Isso nos dá a força no ponto do caminho correspondente a cada t.

Passo 7

O trabalho W é dado pela integral de linha:
Isso significa que vamos multiplicar as componentes correspondentes da força e da derivada do caminho e integrar de t = 0 a t = 1.

Passo 8

Calculando o produto escalar dentro da integral:
Agora, temos uma expressão única para integrar.

Passo 9

Expandindo :
Então, a expressão dentro da integral fica:

Passo 10

Agora, integramos termo a termo de t = 0 a t = 1:

Passo 11

Calculando os valores na integral:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de forças F ao mover o objeto de P para Q é unidades de trabalho.

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