Determine o trabalho realizado pelo campo de forças
ao mover um objeto de
para
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o trabalho realizado por um campo de forças
ao mover um objeto do ponto
para o ponto
. Isso envolve conceitos de cálculo de integrais de linha no contexto de campos vetoriais.
Para resolver esse exercício, vamos precisar entender:
- O que é trabalho realizado por um campo de forças.
- Como calcular integrais de linha para determinar esse trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o trabalho realizado por um campo de forças. Basicamente, é uma medida de energia transferida quando uma força atua sobre um objeto ao longo de um caminho. Matematicamente, isso é calculado usando a integral de linha da força ao longo do caminho.
Passo 3
A força dada é
. Isso significa que a componente x da força é
e a componente y é
.
Passo 4
Para calcular o trabalho, precisamos parametrizar o caminho de
a
. Uma maneira simples é usar uma linha reta entre os dois pontos. Vamos definir a parametrização como:
Aqui, quando
, estamos em
, e quando
, chegamos em
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
para obter
:
Essa derivada representa o vetor tangente ao caminho no ponto
.
Passo 6
Em seguida, substituímos
na força
:
Isso nos dá a força no ponto do caminho correspondente a cada
.
Passo 7
O trabalho
é dado pela integral de linha:
Isso significa que vamos multiplicar as componentes correspondentes da força e da derivada do caminho e integrar de
a
.
Passo 8
Calculando o produto escalar dentro da integral:
Agora, temos uma expressão única para integrar.
Passo 9
Expandindo
:
Então, a expressão dentro da integral fica:
Passo 10
Agora, integramos termo a termo de
a
:
Passo 11
Calculando os valores na integral:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de forças
ao mover o objeto de
para
é
unidades de trabalho.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
.
Determine o limite, se existir, ou veñitique que o limite nos existe.
Use a forma da definição de integral para computar a integral:
Use a forma da definição de integral para computar a integral: