Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
& (a) z=x^2+x y^3 x=u v^2+w^3, y=u+v e^w ; & partial zpartial u, partial zpartial v, partial zpartial w quando u=2, v=1, w=0 & (b) u=raizr^2+s^2, r=y+x cos (t), s=x+y sen(t) ; & partial zpartial u, partial zpartial v, partial zpartial w quando x=1, y=2, t=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usarmos a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de em relação a , e . A regra da cadeia é uma ferramenta poderosa em cálculo que nos ajuda a derivar funções compostas. Vamos precisar entender como depende de outras variáveis através de e no item (a), e através de e no item (b).

Passo 2

Item (a):
Temos as funções:
z = x^2 + x y^3
onde
x = u v^2 + w^3, y = u + v e^w
Nossa missão é encontrar , e quando , , .

Passo 3

Primeiro, vamos identificar as derivadas parciais que precisamos usar. A regra da cadeia nos diz que para partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u que depende de e , que por sua vez dependem de , e , temos:
E de forma semelhante para e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeiro, derivadas de partial zpartial x = 2x + y^3 em relação a partial zpartial y = 3x y^2 e partial xpartial u = v^2, partial xpartial v = 2u v, partial xpartial w = 3w^2 :
partial ypartial u = 1, partial ypartial v = e^w, partial ypartial w = v e^w
Agora, derivadas de e em relação a , e :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos substituir x = 2 cdot 1^2 + 0^3 = 2 , y = 2 + 1 cdot e^0 = 2 + 1 = 3 , partial zpartial x = 2(2) + 3^3 = 4 + 27 = 31 nas expressões acima:
Para partial zpartial y = 3 cdot 2 cdot 3^2 = 6 cdot 9 = 54 :
partial xpartial u = 1^2 = 1
Para partial xpartial v = 2 cdot 2 cdot 1 = 4 :
partial xpartial w = 3 cdot 0^2 = 0
Agora, as derivadas:
partial ypartial u = 1
partial ypartial v = e^0 = 1
Derivadas de partial ypartial w = 1 cdot e^0 = 1 :
Derivadas de :

Passo 6

Agora, aplicando a regra da cadeia:
Para partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u = 31 cdot 1 + 54 cdot 1 = 31 + 54 = 85 :
partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v = 31 cdot 4 + 54 cdot 1 = 124 + 54 = 178
Para partial zpartial w = partial zpartial x cdot partial xpartial w + partial zpartial y cdot partial ypartial w = 31 cdot 0 + 54 cdot 1 = 0 + 54 = 54 :
Para :

Passo 7

Item (b):
Parece que houve um pequeno equívoco no enunciado do item (b), pois não foi definida a função . Vamos supor que seja similar ao item (a), e que precisamos encontrar , . Contudo, como o enunciado original pede derivadas de , provavelmente há uma relação omitida. Para manter a coerência, vamos focar no item (a) que está completo.

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = 85, partial zpartial v = 178, partial zpartial w = 54

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