Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usarmos a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. A regra da cadeia é uma ferramenta poderosa em cálculo que nos ajuda a derivar funções compostas. Vamos precisar entender como
depende de outras variáveis através de
e
no item (a), e através de
e
no item (b).
Passo 2
Item (a):
Temos as funções:
onde
Nossa missão é encontrar
,
e
quando
,
,
.
Passo 3
Primeiro, vamos identificar as derivadas parciais que precisamos usar. A regra da cadeia nos diz que para
que depende de
e
, que por sua vez dependem de
,
e
, temos:
E de forma semelhante para
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeiro, derivadas de
em relação a
e
:
Agora, derivadas de
e
em relação a
,
e
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos substituir
,
,
nas expressões acima:
Para
:
Para
:
Agora, as derivadas:
Derivadas de
:
Derivadas de
:
Passo 6
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Item (b):
Parece que houve um pequeno equívoco no enunciado do item (b), pois não foi definida a função
. Vamos supor que seja similar ao item (a), e que precisamos encontrar
,
. Contudo, como o enunciado original pede derivadas de
, provavelmente há uma relação omitida. Para manter a coerência, vamos focar no item (a) que está completo.
Resposta
As derivadas parciais são:
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Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
:
;
R:
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada:
Determine a massa e o CM de um arame fino no formato de um quarto de círculo
,
, se a função densidade for
Suponha que
seja um ponto crítico de uma função
com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre
?
(a)
(a)