Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usarmos a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de em relação a , e . A regra da cadeia é uma ferramenta poderosa em cálculo que nos ajuda a derivar funções compostas. Vamos precisar entender como depende de outras variáveis através de e no item (a), e através de e no item (b).

Passo 2

Item (a):
Temos as funções:
onde
Nossa missão é encontrar , e quando , , .

Passo 3

Primeiro, vamos identificar as derivadas parciais que precisamos usar. A regra da cadeia nos diz que para que depende de e , que por sua vez dependem de , e , temos:
E de forma semelhante para e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeiro, derivadas de em relação a e :
Agora, derivadas de e em relação a , e :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos substituir , , nas expressões acima:
Para :
Para :
Agora, as derivadas:
Derivadas de :
Derivadas de :

Passo 6

Agora, aplicando a regra da cadeia:
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Item (b):
Parece que houve um pequeno equívoco no enunciado do item (b), pois não foi definida a função . Vamos supor que seja similar ao item (a), e que precisamos encontrar , . Contudo, como o enunciado original pede derivadas de , provavelmente há uma relação omitida. Para manter a coerência, vamos focar no item (a) que está completo.

Resposta

As derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial :
;
R:
Calcule a integral de linha, onde é a curva dada:
Determine a massa e o CM de um arame fino no formato de um quarto de círculo , , se a função densidade for
Suponha que seja um ponto crítico de uma função com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre ?
(a)