Determine a massa e o CM de um arame fino no formato de um quarto de círculo , , se a função densidade for

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a massa e o centro de massa (CM) de um arame fino que tem o formato de um quarto de círculo, definido pela equação , onde e . A função densidade desse arame é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais para calcular a massa e as coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa do arame. A massa de um objeto com densidade variável pode ser encontrada integrando a função densidade ao longo do comprimento do objeto. No nosso caso, a densidade é , e o arame está no quarto de círculo .
Para parametrizar o quarto de círculo, podemos usar coordenadas polares. Vamos definir e , onde varia de a para cobrir o quarto de círculo no primeiro quadrante.
A diferencial de comprimento em coordenadas polares é . Agora, expressamos a densidade em termos de :
Agora, a massa é dada por:

Passo 3

Vamos resolver a integral para encontrar a massa:
Integrando cada termo:
Aplicando os limites de integração:

Passo 4

Agora que temos a massa, vamos encontrar as coordenadas do centro de massa . As fórmulas para o centro de massa são:
Vamos calcular primeiro. Usando a parametrização em coordenadas polares:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver as integrais separadamente:
Primeiro, a integral de :
Segundo, a integral de :
Aplicando os limites de a :
Então, substituindo de volta na expressão para :
Como a simetria do problema mostra que , temos:

Resposta

A massa do arame é e o centro de massa está localizado nas coordenadas .

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;
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(a)