Determine a massa e o CM de um arame fino no formato de um quarto de círculo
,
, se a função densidade for
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a massa e o centro de massa (CM) de um arame fino que tem o formato de um quarto de círculo, definido pela equação
, onde
e
. A função densidade desse arame é
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais para calcular a massa e as coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa do arame. A massa
de um objeto com densidade variável pode ser encontrada integrando a função densidade ao longo do comprimento do objeto. No nosso caso, a densidade é
, e o arame está no quarto de círculo
.
Para parametrizar o quarto de círculo, podemos usar coordenadas polares. Vamos definir
e
, onde
varia de
a
para cobrir o quarto de círculo no primeiro quadrante.
A diferencial de comprimento em coordenadas polares é
. Agora, expressamos a densidade em termos de
:
Agora, a massa
é dada por:
Passo 3
Vamos resolver a integral para encontrar a massa:
Integrando cada termo:
Aplicando os limites de integração:
Passo 4
Agora que temos a massa, vamos encontrar as coordenadas do centro de massa
. As fórmulas para o centro de massa são:
Vamos calcular
primeiro. Usando a parametrização em coordenadas polares:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver as integrais separadamente:
Primeiro, a integral de
:
Segundo, a integral de
:
Aplicando os limites de
a
:
Então, substituindo de volta na expressão para
:
Como a simetria do problema mostra que
, temos:
Resposta
A massa do arame é
e o centro de massa está localizado nas coordenadas
.
Exercícios relacionados
Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
:
;
R:
Suponha que
seja um ponto crítico de uma função
com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre
?
(a)
(a)