Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
(d) F(x, y, z)=x i+y j-x y k, r(t)=cos t i+sin t j+t k, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha , onde e a curva é descrita pela função vetorial para . Isso envolve o cálculo de uma integral de linha em um campo vetorial, usando parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para calcular a integral de linha drdt = -sin t i + cos t j + k , precisamos parametrizar a curva usando . Já temos , então o próximo passo é encontrar a derivada , que representa o vetor tangente à curva.
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos substituir a parametrização F(r(t)) = cos t i + sin t j - (cos t)(sin t) k na função vetorial . Isso significa substituir , e na expressão de :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o produto escalar F(r(t)) cdot drdt = (cos t)(-sin t) + (sin t)(cos t) + [ -cos t sin t ](1) :
= -cos t sin t + cos t sin t - cos t sin t
Simplificando os termos:
= -cos t sin t

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão de integral0^1 -cos t sin t , dt a integral u , du = u^22 + C :
cos^2 t2 g|0^1 = cos^2 1 - cos^2 02
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição simples. Vamos deixar cos^2 1 - 12 , então . A integral vira:
Voltando para :
Sabemos que , então:

Resposta

Portanto, o valor da integral de linha é:
cos^2(1) - 12

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Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
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