Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial .
(d) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha , onde e a curva é descrita pela função vetorial para . Isso envolve o cálculo de uma integral de linha em um campo vetorial, usando parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para calcular a integral de linha , precisamos parametrizar a curva usando . Já temos , então o próximo passo é encontrar a derivada , que representa o vetor tangente à curva.
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos substituir a parametrização na função vetorial . Isso significa substituir , e na expressão de :
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o produto escalar :
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão de a :
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição simples. Vamos deixar , então . A integral vira: