Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
(j) integralC x y e^y z d s, C: x=t, y=t^2, z=t^3 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de uma curva no espaço. A curva é definida pelas equações paramétricas , e , onde varia de 0 a 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva x(t) = t, y(t) = t^2, z(t) = t^3 para 0 <= t <= 1 . Isso significa que vamos expressar as coordenadas , e em termos de um parâmetro :

Passo 3

Agora, precisamos calcular o elemento de comprimento ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt , que nos ajuda a somar as contribuições ao longo da curva. Para isso, usamos a fórmula:
dxdt = 1, dydt = 2t, dzdt = 3t^2
Vamos calcular as derivadas de ds = raiz1^2 + (2t)^2 + (3t^2)^2 , dt = raiz1 + 4t^2 + 9t^4 , dt , e em relação a :
Substituindo essas derivadas na fórmula do :

Passo 4

Agora, vamos montar a integral de linha. A integral que queremos calcular é:
integralC x y e^y z , ds
Substituindo integral0^1 t cdot t^2 cdot e^t^2 cdot t^3 cdot raiz1 + 4t^2 + 9t^4 , dt , integral0^1 t^3 e^t^5 raiz1 + 4t^2 + 9t^4 , dt , e na integral:
Simplificando:

Resposta

A integral de linha é dada por:
integral0^1 t^3 e^t^5 raiz1 + 4t^2 + 9t^4 , dt
Essa expressão pode ser resolvida numericamente para obter um valor aproximado.

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