Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
(j)
.
(j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de uma curva no espaço. A curva
é definida pelas equações paramétricas
,
e
, onde
varia de 0 a 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva
. Isso significa que vamos expressar as coordenadas
,
e
em termos de um parâmetro
:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o elemento de comprimento
, que nos ajuda a somar as contribuições ao longo da curva. Para isso, usamos a fórmula:
Vamos calcular as derivadas de
,
e
em relação a
:
Substituindo essas derivadas na fórmula do
:
Passo 4
Agora, vamos montar a integral de linha. A integral que queremos calcular é:
Substituindo
,
,
e
na integral:
Simplificando:
Resposta
A integral de linha é dada por:
Essa expressão pode ser resolvida numericamente para obter um valor aproximado.
Exercícios relacionados
Determine o valor dos seguintes limites laterais:
Resolva a equação
.
Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
(d) .
(d)
Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial.
(g) .
(g)