Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial .

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha , onde é uma curva parametrizada por para . O campo vetorial é . Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular a derivada de , substituir na integral e integrar em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Isso nos dá a velocidade ao longo da curva:

Passo 3

Agora, vamos substituir as componentes de no campo :

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar :

Passo 5

Agora, integramos essa expressão de a :
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 6

Primeira integral:
Fazemos a substituição , então :
Avaliado de 0 a 1:

Passo 7

Segunda integral:
Fazemos a substituição , então :
Avaliado de 0 a 1:

Passo 8

Terceira integral:
Esta é uma integral direta:

Passo 9

Agora, somamos os resultados das três integrais:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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Prove cada identidade, admitindo que e satisfaçam as condições do Teorema da Divergência e que as funções escalares e componentes do campo vetorial tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
Se é uma função diferenciável da variável , tome - ay e mostre que satisfaz a equação:
Determine os extremos relativos de f , se existirem.
Determine os extremos relativos de f , se existirem.