Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
l F(x, y, z)=sen x i+cos y j+x z k, r(t)=t^3 i-t^2 j+t k, 0 <= t <= 1

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha , onde é uma curva parametrizada por para . O campo vetorial é . Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular a derivada de , substituir na integral e integrar em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de drdt = ddt(t^3 i - t^2 j + t k) = 3t^2 i - 2t j + k em relação a , que é . Isso nos dá a velocidade ao longo da curva:

Passo 3

Agora, vamos substituir as componentes de F(r(t)) = sin(t^3) i + cos(-t^2) j + (t^3)(t) k = sin(t^3) i + cos(t^2) j + t^4 k no campo :

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar F cdot drdt = sin(t^3) cdot 3t^2 + cos(t^2) cdot (-2t) + t^4 cdot 1 = 3t^2 sin(t^3) - 2t cos(t^2) + t^4 :

Passo 5

Agora, integramos essa expressão de integral0^1 (3t^2 sin(t^3) - 2t cos(t^2) + t^4) dt a :
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 6

Primeira integral: integral sin(u) du = -cos(u) + C = -cos(t^3) + C
Fazemos a substituição -cos(1) + cos(0) = -cos(1) + 1 , então :
Avaliado de 0 a 1:

Passo 7

Segunda integral: -integral cos(v) dv = -sin(v) + C = -sin(t^2) + C
Fazemos a substituição -sin(1) + sin(0) = -sin(1) + 0 = -sin(1) , então :
Avaliado de 0 a 1:

Passo 8

Terceira integral: t^55 g|0^1 = 15 - 0 = 15
Esta é uma integral direta:

Passo 9

Agora, somamos os resultados das três integrais:
(-cos(1) + 1) + (-sin(1)) + 15 = 1 - cos(1) - sin(1) + 15

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados