Determine os extremos relativos de f , se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar os extremos relativos da função
no intervalo onde
e
. Isso envolve cálculo multivariável, especificamente achar pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos locais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar onde elas são iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Subtraindo as duas equações, temos:
O que significa que
no intervalo considerado.
Passo 4
Com
, substituímos na primeira equação:
Usando a identidade trigonométrica
, a equação fica:
Resolvendo a equação quadrática em
:
Portanto,
ou
. No intervalo
,
não é possível, então:
Passo 5
Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar as bordas do domínio para garantir que não existam extremos máximos ou mínimos lá.
As bordas são:
-
, -
, -
, -
,
Calculando
nesses pontos:
-
: que varia de 0 a 2. -
: . -
: Similar a . -
: Similar a .
Analisando, vemos que os máximos e mínimos nas bordas não superam o ponto interno encontrado.
Resposta
Os extremos relativos da função
no intervalo
ocorrem no ponto
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
Prove cada identidade, admitindo que
e
satisfaçam as condições do Teorema da Divergência e que as funções escalares e componentes do campo vetorial tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
Determine os extremos relativos de f , se existirem.
Será que as igualdades
e
valem para todos os subconjuntos
e
de
?