Determine os extremos relativos de f , se existirem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar os extremos relativos da função no intervalo onde e . Isso envolve cálculo multivariável, especificamente achar pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos locais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar onde elas são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Subtraindo as duas equações, temos:
O que significa que no intervalo considerado.

Passo 4

Com , substituímos na primeira equação:
Usando a identidade trigonométrica , a equação fica:
Resolvendo a equação quadrática em :
Portanto, ou . No intervalo , não é possível, então:

Passo 5

Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar as bordas do domínio para garantir que não existam extremos máximos ou mínimos lá.
As bordas são:
  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
Calculando nesses pontos:
  • : que varia de 0 a 2.
  • : .
  • : Similar a .
  • : Similar a .
Analisando, vemos que os máximos e mínimos nas bordas não superam o ponto interno encontrado.

Resposta

Os extremos relativos da função no intervalo ocorrem no ponto .

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