Se f é uma função diferenciável da variável u, tome u=b x - ay e mostre que z=f(b x-a y) satisfaz a equação: a partial zpartial x+b partial zpartial y=0

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função a partial zpartial x + b partial zpartial y = 0 que depende de uma variável , onde . Queremos mostrar que a função composta satisfaz a equação:
Para resolver isso, vamos usar o teorema da cadeia para calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, identifiquemos que z = f(u) onde u = b x - a y é uma função de , que por sua vez é uma função de e . Assim, podemos escrever:
Isso significa que para encontrar as derivadas parciais de , precisamos primeiro encontrar as derivadas de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial upartial x = b e partial upartial y = -a :
partial zpartial x = dfdu cdot partial upartial x = f'(u) cdot b
Agora, aplicando o teorema da cadeia para encontrar as derivadas parciais de partial zpartial y = dfdu cdot partial upartial y = f'(u) cdot (-a) :

Passo 4

Substituímos as derivadas encontradas na equação que queremos verificar:
a partial zpartial x + b partial zpartial y = a cdot (f'(u) cdot b) + b cdot (f'(u) cdot (-a))
Distribuindo os termos:
= a b f'(u) - a b f'(u)

Passo 5

Observe que os termos se cancelam:
a b f'(u) - a b f'(u) = 0
Isso demonstra que a função satisfaz a equação dada.

Resposta

A função satisfaz a equação .

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