Se
é uma função diferenciável da variável
, tome
- ay e mostre que
satisfaz a equação:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
que depende de uma variável
, onde
. Queremos mostrar que a função composta
satisfaz a equação:
Para resolver isso, vamos usar o teorema da cadeia para calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos que
é uma função de
, que por sua vez é uma função de
e
. Assim, podemos escrever:
Isso significa que para encontrar as derivadas parciais de
, precisamos primeiro encontrar as derivadas de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Agora, aplicando o teorema da cadeia para encontrar as derivadas parciais de
:
Passo 4
Substituímos as derivadas encontradas na equação que queremos verificar:
Distribuindo os termos:
Passo 5
Observe que os termos se cancelam:
Isso demonstra que a função
satisfaz a equação dada.
Resposta
A função
satisfaz a equação
.
Exercícios relacionados
(6) Sendo
e
. Encontrar:
.
A carga de ruptura
de uma viga em balanço é dada pela fórmula:
sendo que
é a largura,
o comprimento,
a profundidade e
uma constante que depende do material da viga. Se o comprimento for aumentado de
e a largura de
, de quanto a profundidade deverá ser aproximadamente alterada para manter inalterada a carga de ruptura?
Prove cada identidade, admitindo que
e
satisfaçam as condições do Teorema da Divergência e que as funções escalares e componentes do campo vetorial tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.