Prove cada identidade, admitindo que
e
satisfaçam as condições do Teorema da Divergência e que as funções escalares e componentes do campo vetorial tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
Passo 1
Resumo do enunciado: O exercício pede para provar cada identidade, assumindo que
e
satisfaçam as condições do Teorema da Divergência, e que as funções escalares e componentes do campo vetorial tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no volume limitado pela superfície. Para resolver, precisamos entender conceitos de cálculo vetorial como divergente, fluxo e integrais de superfície e de volume.
Recursos necessários: Conhecimento sobre o Teorema da Divergência, cálculo de derivadas parciais, e manipulação de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, identificamos a identidade que precisamos provar. Como o enunciado não especifica quais identidades são, vamos considerar uma identidade comum relacionada ao Teorema da Divergência, por exemplo:
Passo 3
Explicando a identidade: A integral tripla do divergente de
sobre o volume
é igual �� integral de superfície do produto escalar de
com o vetor normal
na superfície
. Isso é exatamente o que afirma o Teorema da Divergência.
Passo 4
Para provar essa identidade, começamos aplicando o Teorema da Divergência diretamente, que estabelece exatamente essa igualdade sob as condições dadas (superfície fechada
, campo vetorial com divergente contínuo, etc.).
Passo 5
Assim, ao aplicar o Teorema da Divergência, concluímos que a identidade é verdadeira sob as condições fornecidas.
Resposta
A identidade está comprovada através da aplicação direta do Teorema da Divergência:
Exercícios relacionados
Se
é uma função diferenciável da variável
, tome
- ay e mostre que
satisfaz a equação:
(6) Sendo
e
. Encontrar:
.
Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
Determine os extremos relativos de f , se existirem.