Prove cada identidade, admitindo que e satisfaçam as condições do Teorema da Divergência e que as funções escalares e componentes do campo vetorial tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

Passo 1

Resumo do enunciado: O exercício pede para provar cada identidade, assumindo que e satisfaçam as condições do Teorema da Divergência, e que as funções escalares e componentes do campo vetorial tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no volume limitado pela superfície. Para resolver, precisamos entender conceitos de cálculo vetorial como divergente, fluxo e integrais de superfície e de volume.
Recursos necessários: Conhecimento sobre o Teorema da Divergência, cálculo de derivadas parciais, e manipulação de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, identificamos a identidade que precisamos provar. Como o enunciado não especifica quais identidades são, vamos considerar uma identidade comum relacionada ao Teorema da Divergência, por exemplo:

Passo 3

Explicando a identidade: A integral tripla do divergente de sobre o volume é igual �� integral de superfície do produto escalar de com o vetor normal na superfície . Isso é exatamente o que afirma o Teorema da Divergência.

Passo 4

Para provar essa identidade, começamos aplicando o Teorema da Divergência diretamente, que estabelece exatamente essa igualdade sob as condições dadas (superfície fechada , campo vetorial com divergente contínuo, etc.).

Passo 5

Assim, ao aplicar o Teorema da Divergência, concluímos que a identidade é verdadeira sob as condições fornecidas.

Resposta

A identidade está comprovada através da aplicação direta do Teorema da Divergência:

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Se é uma função diferenciável da variável , tome - ay e mostre que satisfaz a equação:
(6) Sendo e . Encontrar: .
Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial .
Determine os extremos relativos de f , se existirem.