Determine os extremos relativos de f , se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar os extremos relativos da função
. Isso está no campo de Cálculo Multivariável, onde estudamos funções com mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e analisar os pontos críticos da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a todas as variáveis são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos começar com a derivada parcial em relação a
:
Agora, igualamos a zero para encontrar os pontos críticos:
Como
nunca é zero, devemos ter
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Novamente,
nunca é zero, então
.
Passo 5
Então, o único ponto crítico é
. Agora, precisamos determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos a matriz Hessiana e seu determinante.
Passo 6
Vamos calcular as segundas derivadas parciais:
Passo 7
Avaliaremos essas segundas derivadas no ponto crítico
:
Passo 8
Agora, calculamos o determinante da Hessiana
:
Passo 9
Analisando o determinante
:
- Se
e : mínimo relativo. - Se
e : máximo relativo. - Se
: ponto de sela. - Se
: teste inconclusivo.
No nosso caso,
, então o ponto
é um ponto de sela, não sendo um extremo relativo.
Resposta
A função
não possui extremos relativos.
Exercícios relacionados
Determine os extremos relativos de f , se existirem.
Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
Será que as igualdades
e
valem para todos os subconjuntos
e
de
?
Indique o domínio das seguintes funções: