Determine os extremos relativos de f , se existirem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar os extremos relativos da função . Isso está no campo de Cálculo Multivariável, onde estudamos funções com mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e analisar os pontos críticos da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a todas as variáveis são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos começar com a derivada parcial em relação a :
Agora, igualamos a zero para encontrar os pontos críticos:
Como nunca é zero, devemos ter .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:
Novamente, nunca é zero, então .

Passo 5

Então, o único ponto crítico é . Agora, precisamos determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos a matriz Hessiana e seu determinante.

Passo 6

Vamos calcular as segundas derivadas parciais:

Passo 7

Avaliaremos essas segundas derivadas no ponto crítico :

Passo 8

Agora, calculamos o determinante da Hessiana :

Passo 9

Analisando o determinante :
  • Se e : mínimo relativo.
  • Se e : máximo relativo.
  • Se : ponto de sela.
  • Se : teste inconclusivo.
No nosso caso, , então o ponto é um ponto de sela, não sendo um extremo relativo.

Resposta

A função não possui extremos relativos.

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Será que as igualdades e valem para todos os subconjuntos e de ?
Indique o domínio das seguintes funções: