Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial ,

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral de linha . Aqui, a função vetorial é dada por , e a curva é parametrizada por para . Vamos precisar usar o conceito de integral de linha e produto escalar para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as coordenadas da curva na função . Isso significa que vamos substituir , e em pelos componentes de .
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a , que é .

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar .

Passo 5

Agora, integramos essa expressão de a :
Vamos resolver cada termo separadamente:
  1. :
    Fazendo a substituição , então :
  2. :
    Substituição , então :
  3. :

Resposta

Somando todas as partes, a integral de linha é:
Então, a resposta final é:

Exercícios relacionados

Resolva:
,
Determine a área da superfície do plano que está dentro do cilindro .
Calcule a integral de linha, onde é a curva dada. consiste nos segmentos de reta de a e de a .
Inverta a ordem de integração.