Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t) F(x, y, z)=sen x i+cos y j+x z k, r(t)=t^3 i-t^2 j+t k, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral de linha . Aqui, a função vetorial é dada por , e a curva é parametrizada por para . Vamos precisar usar o conceito de integral de linha e produto escalar para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as coordenadas da curva x = t^3, y = -t^2, z = t na função F(r(t)) = sen(t^3) i + cos(-t^2) j + t^3 cdot t k = sen(t^3) i + cos(t^2) j + t^4 k . Isso significa que vamos substituir , e em pelos componentes de .
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de drdt = ddt(t^3) i + ddt(-t^2) j + ddt(t) k = 3t^2 i - 2t j + k em relação a , que é .

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar F(r(t)) cdot drdt = sen(t^3) cdot 3t^2 + cos(t^2) cdot (-2t) + t^4 cdot 1 = 3t^2 sen(t^3) - 2t cos(t^2) + t^4 .

Passo 5

Agora, integramos essa expressão de integral0^1 (3t^2 sen(t^3) - 2t cos(t^2) + t^4) dt a integral sen(u) du = -cos(u) = -cos(t^3) |0^1 = -cos(1) + cos(0) = 1 - cos(1) :
Vamos resolver cada termo separadamente:
  1. :
    Fazendo a substituição -integral cos(v) dv = -sen(v) = -sen(t^2) |0^1 = -sen(1) + sen(0) = -sen(1) , então t^55 |0^1 = 15 - 0 = 15 :
  2. :
    Substituição , então :
  3. :

Resposta

Somando todas as partes, a integral de linha é:
Então, a resposta final é:

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