Resolva:
x e^(x^2) dx + (y^5 - 1) dy = 0, y(0) = 0,

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem na forma:
com a condição inicial . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente tratando de equações exatas. Para resolver, vamos precisar utilizar técnicas de integração e verificar se a equação é exata.

Passo 2

Vamos verificar se a equação dada é exata. Uma equação diferencial da forma:
é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a , isto é:
No nosso caso:
Calculando as derivadas parciais:
ã
ã
Como , a equação é exata.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Integrando em relação a :
onde é uma função que depende apenas de .

Passo 4

Para determinar , derivamos em relação a e igualamos a :
Integrando em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 5

Substituindo na função potencial :
Como a equação diferencial exata nos dá , podemos escrever:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Aplicando a condição inicial :
Portanto, a solução particular que satisfaz a condição inicial é:

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