Resolva:
,
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem na forma:
com a condição inicial
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente tratando de equações exatas. Para resolver, vamos precisar utilizar técnicas de integração e verificar se a equação é exata.
Passo 2
Vamos verificar se a equação dada é exata. Uma equação diferencial da forma:
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
, isto é:
No nosso caso:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 4
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando
em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Substituindo
na função potencial
:
Como a equação diferencial exata nos dá
, podemos escrever:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Aplicando a condição inicial
:
Portanto, a solução particular que satisfaz a condição inicial é:
Exercícios relacionados
Determine a área da superfície do plano
que está dentro do cilindro
.
Determine a derivada direcional mínima da função
, no ponto
e a direção em que sua derivada, neste ponto, se torna máxima.
Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
,
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
consiste nos segmentos de reta de
a
e de
a
.