Calcule a integral de linha, onde é a curva dada. consiste nos segmentos de reta de a e de a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de linha. Mais especificamente, temos que calcular a integral , onde é uma curva composta por dois segmentos de reta: um de a e outro de a . Para resolver isso, vamos dividir a integral em duas partes correspondentes a cada segmento da curva e calcular cada uma separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no primeiro segmento da curva, que vai de a . Precisamos parametrizar esse segmento, ou seja, expressar e em termos de um parâmetro, geralmente denominado . Como o movimento é ao longo do eixo de 0 a 2 e permanece constante em 0, podemos definir:
Aqui, corresponde a e a .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Essas derivadas são necessárias para substituir na integral.

Passo 4

Substituindo , , e na integral, temos para o primeiro segmento:
Então, a contribuição do primeiro segmento é 0.

Passo 5

Agora, vamos para o segundo segmento da curva, que vai de a . Novamente, precisamos parametrizar esse segmento. Podemos expressar e em termos de , variando de 0 a 1:
Aqui, corresponde a e a .

Passo 6

Calculando as derivadas de e :

Passo 7

Substituindo tudo na integral para o segundo segmento:
Simplificando dentro da integral:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
Somando tudo:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial ,
Resolva:
,
Inverta a ordem de integração.
Calcule , onde é o conjunto .