Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
consiste nos segmentos de reta de
a
e de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de linha. Mais especificamente, temos que calcular a integral
, onde
é uma curva composta por dois segmentos de reta: um de
a
e outro de
a
. Para resolver isso, vamos dividir a integral em duas partes correspondentes a cada segmento da curva e calcular cada uma separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no primeiro segmento da curva, que vai de
a
. Precisamos parametrizar esse segmento, ou seja, expressar
e
em termos de um parâmetro, geralmente denominado
. Como o movimento é ao longo do eixo
de 0 a 2 e
permanece constante em 0, podemos definir:
Aqui,
corresponde a
e
a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Essas derivadas são necessárias para substituir na integral.
Passo 4
Substituindo
,
,
e
na integral, temos para o primeiro segmento:
Então, a contribuição do primeiro segmento é 0.
Passo 5
Agora, vamos para o segundo segmento da curva, que vai de
a
. Novamente, precisamos parametrizar esse segmento. Podemos expressar
e
em termos de
, variando de 0 a 1:
Aqui,
corresponde a
e
a
.
Passo 6
Calculando as derivadas de
e
:
Passo 7
Substituindo tudo na integral para o segundo segmento:
Simplificando dentro da integral:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Somando tudo:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
,
Resolva:
,
Inverta a ordem de integração.
Calcule
, onde
é o conjunto
.