Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. integralC x y d x+(x-y) d y, C consiste nos segmentos de reta de (0,0) a (2,0) e de (2,0) a (3,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de linha. Mais especificamente, temos que calcular a integral integralC x y , dx + (x - y) , dy, onde C é uma curva composta por dois segmentos de reta: um de (0,0) a (2,0) e outro de (2,0) a (3,2). Para resolver isso, vamos dividir a integral em duas partes correspondentes a cada segmento da curva e calcular cada uma separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no primeiro segmento da curva, que vai de (0,0) a (2,0). Precisamos parametrizar esse segmento, ou seja, expressar x e y em termos de um parâmetro, geralmente denominado t. Como o movimento é ao longo do eixo x de 0 a 2 e y permanece constante em 0, podemos definir:
x(t) = 2t, y(t) = 0, onde t in [0,1]
Aqui, t=0 corresponde a (0,0) e t=1 a (2,0).

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t:
dxdt = 2, dydt = 0
Essas derivadas são necessárias para substituir na integral.

Passo 4

Substituindo x(t), y(t), dxdt e dydt na integral, temos para o primeiro segmento:
integralC1 x y , dx + (x - y) , dy = integral0^1 [ (2t)(0) cdot 2 + (2t - 0) cdot 0 ] , dt = integral0^1 0 , dt = 0
Então, a contribuição do primeiro segmento é 0.

Passo 5

Agora, vamos para o segundo segmento da curva, que vai de (2,0) a (3,2). Novamente, precisamos parametrizar esse segmento. Podemos expressar x e y em termos de t, variando de 0 a 1:
x(t) = 2 + t, y(t) = 0 + 2t, onde t in [0,1]
Aqui, t=0 corresponde a (2,0) e t=1 a (3,2).

Passo 6

Calculando as derivadas de x(t) e y(t):
dxdt = 1, dydt = 2

Passo 7

Substituindo tudo na integral para o segundo segmento:
integralC2 x y , dx + (x - y) , dy = integral0^1 [ (2 + t)(2t) cdot 1 + (2 + t - 2t) cdot 2 ] , dt
Simplificando dentro da integral:
= integral0^1 [ (4t + 2t^2) + (2 + t - 2t) cdot 2 ] , dt
= integral0^1 [4t + 2t^2 + (2 + (-t)) cdot 2 ] , dt
= integral0^1 [4t + 2t^2 + 4 - 2t ] , dt
= integral0^1 (2t^2 + 2t + 4) , dt

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral0^1 2t^2 , dt = 2 cdot [ t^33 ]0^1 = 2 cdot ( 13 - 0 ) = 23
integral0^1 2t , dt = 2 cdot [ t^22 ]0^1 = 2 cdot ( 12 - 0 ) = 1
integral0^1 4 , dt = 4 cdot [ t ]0^1 = 4 cdot (1 - 0) = 4
Somando tudo:
23 + 1 + 4 = 23 + 5 = 173

Resposta

A integral de linha é igual a 173.

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