Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos inverter a ordem de integração da integral dupla . Estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente com a troca da ordem de integração. Para resolver isso, vamos entender primeiro a região de integração no plano e depois determinar os novos limites para e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites atuais de integração. A integral externa está integrada de até . Para cada valor de nesse intervalo, a integral interna está de até . Isso significa que, para cada , varia entre e .

Passo 3

Vamos visualizar isso no plano . A condição equivale a , e também dá , já que ao elevar ao quadrado o sinal não importa. Então, a região de integração está entre e , e para cada , varia de a , ou seja, está entre as curvas e .

Passo 4

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Já que , e varia de 0 a 1, vamos determinar para cada , quais são os limites de . Observando a região, para um dado , começa em e vai até .

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites para . Vemos que varia de a , porque quando , . Portanto, está entre e , e para cada nesse intervalo, vai de até .

Resposta

A ordem de integração invertida fica assim:

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Calcule a integral de linha, onde é a curva dada. consiste nos segmentos de reta de a e de a .
Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial ,
Calcule , onde é o conjunto .
Calcule , onde é o conjunto ;