Inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos inverter a ordem de integração da integral dupla
. Estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente com a troca da ordem de integração. Para resolver isso, vamos entender primeiro a região de integração no plano
e depois determinar os novos limites para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites atuais de integração. A integral externa está integrada de
até
. Para cada valor de
nesse intervalo, a integral interna está de
até
. Isso significa que, para cada
,
varia entre
e
.
Passo 3
Vamos visualizar isso no plano
. A condição
equivale a
, e
também dá
, já que ao elevar ao quadrado o sinal não importa. Então, a região de integração está entre
e
, e para cada
,
varia de
a
, ou seja, está entre as curvas
e
.
Passo 4
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Já que
, e
varia de 0 a 1, vamos determinar para cada
, quais são os limites de
. Observando a região, para um dado
,
começa em
e vai até
.
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites para
. Vemos que
varia de
a
, porque quando
,
. Portanto,
está entre
e
, e para cada
nesse intervalo,
vai de
até
.
Resposta
A ordem de integração invertida fica assim:
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
consiste nos segmentos de reta de
a
e de
a
.
Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
,
Calcule
, onde
é o conjunto
.
Calcule
, onde
é o conjunto
;