Determine a área da superfície do plano z = 5 - x - 2 * y que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície do plano que está dentro do cilindro . Para isso, vamos usar cálculo, mais especificamente integrais duplas para calcular áreas de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a área da superfície pode ser calculada usando a fórmula da integral dupla:
Á
Aqui, é a região do plano que está dentro do cilindro .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Substituindo esses valores na fórmula da área, temos:
Á

Passo 4

Como é uma constante, podemos simplificar a integral:
Á
A integral representa a área da base sobre a qual estamos integrando, que é o círculo de raio 1 definido por . A área desse círculo é:
Áí
Portanto, a área da superfície é:
Á

Resposta

A área da superfície é .

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