Determine a área da superfície do plano
que está dentro do cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície do plano
que está dentro do cilindro
. Para isso, vamos usar cálculo, mais especificamente integrais duplas para calcular áreas de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a área da superfície pode ser calculada usando a fórmula da integral dupla:
Aqui,
é a região do plano que está dentro do cilindro
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Substituindo esses valores na fórmula da área, temos:
Passo 4
Como
é uma constante, podemos simplificar a integral:
A integral
representa a área da base sobre a qual estamos integrando, que é o círculo de raio 1 definido por
. A área desse círculo é:
Portanto, a área da superfície é:
Resposta
A área da superfície é
.
Exercícios relacionados
Determine a derivada direcional mínima da função
, no ponto
e a direção em que sua derivada, neste ponto, se torna máxima.
Determine a derivada de
no ponto
, na direção
.
Resolva:
,
Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
,