Calcule a integral de linha , onde é a curva fronteira, orientada positivamente, da região delimitada pelas parábolas e o campo é dado por , e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde é a curva que forma a fronteira de uma região delimitada pelas parábolas e . O campo vetorial dado é . Vamos precisar usar o Teorema de Green para facilitar essa integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Basicamente, ele transforma uma integral complicada ao longo de uma curva em uma integral mais fácil de calcular na área interna.
Matematicamente, o Teorema de Green diz:
onde .
Passo 3
Vamos identificar e no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Então, a integral de linha se reduz a:
Isso significa que precisamos calcular a área da região .
Passo 4
Vamos entender melhor a região . Ela é delimitada pelas parábolas , e .
Primeiro, encontramos os pontos de interseção dessas curvas:
Igualando as duas expressões:
As soluções são e .
Então, a região está entre e .
Para cada nesse intervalo, varia de a , mas também está acima de . Portanto, a área é:
O fator 2 vem do fato de termos duas regiões simétricas acima e abaixo do eixo .