Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é a curva fronteira, orientada positivamente, da região delimitada pelas parábolas y1= pm raizx e o campo é dado por y2=x^2, e F(x, y)=(y+e^raizx, 2 x+cos (y^2)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde é a curva que forma a fronteira de uma região delimitada pelas parábolas e . O campo vetorial dado é . Vamos precisar usar o Teorema de Green para facilitar essa integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Basicamente, ele transforma uma integral complicada ao longo de uma curva em uma integral mais fácil de calcular na área interna.
Matematicamente, o Teorema de Green diz:
ointC F cdot dr = integral duplaR ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
onde .

Passo 3

Vamos identificar P = y + e^raizx e Q = 2x + cos(y^2) no nosso campo vetorial:
partial Qpartial x = 2
partial Ppartial y = 1
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2 - 1 = 1
integral duplaR 1 , dx,dy
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Então, a integral de linha se reduz a:
Isso significa que precisamos calcular a área da região .

Passo 4

Vamos entender melhor a região y = raizx e y = x^2 . Ela é delimitada pelas parábolas raizx = x^2 implies x^4 = x implies x(x^3 - 1) = 0 , Área = 2 integral0^1 (raizx - x^2) , dx e .
Primeiro, encontramos os pontos de interseção dessas curvas:
Igualando as duas expressões:
As soluções são e .
Então, a região está entre e .
Para cada nesse intervalo, varia de a , mas também está acima de . Portanto, a área é:
Á
O fator 2 vem do fato de termos duas regiões simétricas acima e abaixo do eixo .

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Área = 2 [ integral0^1 raizx , dx - integral0^1 x^2 , dx ] Á
Calculando cada integral separadamente:
integral0^1 raizx , dx = integral0^1 x^1/2 , dx = 23 x^3/2 |0^1 = 23
integral0^1 x^2 , dx = 13 x^3 |0^1 = 13
Substituindo de volta:
Área = 2 ( 23 - 13 ) = 2 ( 13 ) = 23 Á

Resposta

A integral de linha é igual a .

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