Sabe-se que F(x, y, z) = 2xy i + (x^2 + z cos(yz)) j + y cos(yz) k é um campo conservativo. Determine uma função potencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um campo vetorial e nos diz que ele é conservativo. Nosso objetivo é encontrar uma função potencial para esse campo. Isso faz parte do estudo de campos vetoriais conservativos na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, ou seja, . Isso significa que:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende só de e , porque ao integrar em relação a , as constantes de integração podem depender das outras variáveis.

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Isso implica que:

Passo 5

Vamos integrar em relação a :
Fazendo a substituição , temos , então:
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 6

Agora, vamos escrever com a função encontrada:
Em seguida, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
Podemos considerar a constante como zero, pois ela pode ser incorporada na função potencial.

Resposta

A função potencial é:

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