Sabe-se que
é um campo conservativo. Determine uma função potencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um campo vetorial
e nos diz que ele é conservativo. Nosso objetivo é encontrar uma função potencial
para esse campo. Isso faz parte do estudo de campos vetoriais conservativos na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, ou seja,
. Isso significa que:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende só de
e
, porque ao integrar em relação a
, as constantes de integração podem depender das outras variáveis.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Isso implica que:
Passo 5
Vamos integrar
em relação a
:
Fazendo a substituição
, temos
, então:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 6
Agora, vamos escrever
com a função
encontrada:
Em seguida, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Podemos considerar a constante como zero, pois ela pode ser incorporada na função potencial.
Resposta
A função potencial é: