Calcule as seguintes integrais de linha sobre as curvas indicadas:
© integralC x^2 y d S, onde C é parametrizada por x=cos (t), y=sin (t), z=t com 0 <= t <= pi2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha: . Aqui, a curva é parametrizada por , e , com variando de a . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é dxdt = -sin(t), dydt = cos(t), dzdt = 1 . Esse é o elemento diferencial de arco, que representa um pequeno pedaço da curva. Para calcular , vamos derivar os componentes da parametrização em relação a :

Passo 3

Agora, calculamos a magnitude do vetor derivada para encontrar | drdt | = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 = raiz(-sin(t))^2 + (cos(t))^2 + (1)^2 = raizsin^2(t) + cos^2(t) + 1 = raiz1 + 1 = raiz2 :
Então, .

Passo 4

Agora, substituímos integral0^pi2 (cos(t))^2 cdot sin(t) cdot raiz2 , dt = raiz2 integral0^pi2 cos^2(t) sin(t) , dt , e na integral original:

Passo 5

Vamos resolver a integral -integral u^2 , du = -u^33 + C usando substituição. Seja -cos^3(t)3 |0^pi2 = -cos^3(pi2)3 + cos^3(0)3 = -03 + 13 = 13 , então . A integral fica:
Voltando para :

Resposta

Multiplicando pelo raiz2 cdot 13 = raiz23 que tínhamos fora da integral:
Então, a integral vale .

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