Beleza, vamos resolver essa integral de linha: . Aqui, a curva é parametrizada por , e , com variando de a . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é . Esse é o elemento diferencial de arco, que representa um pequeno pedaço da curva. Para calcular , vamos derivar os componentes da parametrização em relação a :
Passo 3
Agora, calculamos a magnitude do vetor derivada para encontrar :
Então, .
Passo 4
Agora, substituímos integral0^pi2 (cos(t))^2 cdot sin(t) cdot raiz2 , dt = raiz2 integral0^pi2 cos^2(t) sin(t) , dt , e na integral original:
Passo 5
Vamos resolver a integral -integral u^2 , du = -u^33 + C usando substituição. Seja -cos^3(t)3 |0^pi2 = -cos^3(pi2)3 + cos^3(0)3 = -03 + 13 = 13 , então . A integral fica:
Voltando para :
Resposta
Multiplicando pelo raiz2 cdot 13 = raiz23 que tínhamos fora da integral: