Calcule a integral de linha integralc F cdot d r, onde F(x, y, z)=(x y, y z, z x) e c é a curva parametrizada por r(t)=(t, t^2, t^3), 0 <= t <= 1.

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha integralc F cdot dr, onde o campo vetorial é F(x, y, z) = (xy, yz, zx) e a curva c é parametrizada por r(t) = (t, t^2, t^3) para 0 <= t <= 1. Vamos usar o conteúdo de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para calcular a integral de linha integralc F cdot dr, precisamos parametrizar a curva c e expressar F em termos do parâmetro t. Já temos a parametrização da curva: r(t) = (t, t^2, t^3).

Passo 3

Agora, vamos calcular F ao longo da curva c. Substituindo x = t, y = t^2 e z = t^3 na expressão de F, temos:
F(r(t)) = (t cdot t^2, t^2 cdot t^3, t^3 cdot t) = (t^3, t^5, t^4)

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, ou seja, r'(t). Calculando cada componente:
dxdt = 1, dydt = 2t, dzdt = 3t^2
Então,
r'(t) = (1, 2t, 3t^2)

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t):
F(r(t)) cdot r'(t) = t^3 cdot 1 + t^5 cdot 2t + t^4 cdot 3t^2 = t^3 + 2t^6 + 3t^6 = t^3 + 5t^6

Passo 6

Finalmente, vamos integrar essa expressão de t=0 a t=1:
integral0^1 (t^3 + 5t^6) dt = [t^44 + 5t^77]0^1 = 14 + 57 = 728 + 2028 = 2728

Resposta

A integral de linha é 2728.

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